QUESTÃO 3 (1 ponto) - Resolva a equações matriciais em X.
\begin{aligned} & X\left[\begin{array}{ccc} 5 & -4 & 4 \\\\ 4 & 2 & 3 \\\\ 2 & 2 & 5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -40 & 6 & -31 \\\\ -10 & -20 & -14 \end{array}\right] \\\ & {\left[\begin{array}{ll} 0 & -2 \\\\ 0 & -2 \end{array}\right] X-X\left[\begin{array}{cc} -4 & 3 \\\\ 4 & -3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 8 & -9 \\\\ -16 & 9 \end{array}\right]} \end{aligned}

Passo 1

Temos duas equações matriciais em X:
X\,A = B, \quad P\,X - X\,Q = E,
onde
A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 4 \\[6pt] 4 & 2 & 3 \\[6pt] 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}, \; B = \begin{pmatrix} -40 & 6 & -31 \\[3pt] -10 & -20 & -14 \end{pmatrix},
P = \begin{pmatrix}0 & -2 \\[3pt]0 & -2\end{pmatrix}, \; Q = \begin{pmatrix}-4 & 3 \\[3pt]4 & -3\end{pmatrix}, \; E = \begin{pmatrix}8 & -9 \\[3pt]-16 & 9\end{pmatrix}.
Para resolver a primeira usamos inversão de matriz; para a segunda, escrevemos X=(a\\ b;\;c\\ d) e montamos um sistema linear.]

Passo 2

(Primeira equação)
Calculemos \det(A) e \operatorname{adj}(A):
\det(A)=92, \qquad \operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} 4 & 28 & -20 \\[3pt] -14 & 17 & 1 \\[3pt] 4 & -18 & 26 \end{pmatrix}.
Logo
A^{-1}=\frac1{92}\operatorname{adj}(A),
e como X\,A=B temos
X = B\,A^{-1} =\frac1{92} \begin{pmatrix} -40 & 6 & -31 \\[3pt] -10 & -20 & -14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 28 & -20 \\[3pt] -14 & 17 & 1 \\[3pt] 4 & -18 & 26 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -5 & 0 \\[3pt] 2 & -4 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

(Segunda equação)
Seja
X=\begin{pmatrix}a & b\\[3pt]c & d\end{pmatrix}.
Calcula-se
P\,X - X\,Q = \begin{pmatrix} 4a-4b-2c & -3a+3b-2d\\[3pt] 2c-4d & -3c+d \end{pmatrix}
e iguala-se a E\), gerando o sistema \[\begin{cases} 4a - 4b - 2c = 8,\\\\ -3a + 3b - 2d = -9,\\\\ 2c - 4d = -16,\\\\ -3c + d = 9. \end{cases}
Das duas últimas equações segue c=-2\] e \(d=3. Substituindo nas duas primeiras ambas se reduzem a \;a - b = 1,
logo b=a-1 com a livre.]

Resposta

Para X A = B:
X = \begin{pmatrix} -4 & -5 & 0 \\[3pt] 2 & -4 & -2 \end{pmatrix}.
Para P\,X - X\,Q = E:
X = \begin{pmatrix} a & a-1\\[3pt] -2 & 3 \end{pmatrix}, \quad a\in\mathbb{R}.]

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