Questão 5 (1 ponto) f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{7 x^{3} y+4 x y^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) & \text { é continua? Justifique sua resposta. } \\\ & & \end{array}\right.é

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle\frac{7x^{3}y+4xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0), \end{cases}
e pergunta se f é contínua. Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A fórmula vale para todos os pontos (x,y) diferentes de (0,0).
  • Não foi dada explicitamente a definição de f(0,0).
  • Portanto há duas questões implícitas: (i) f é contínua em pontos (x,y)\neq(0,0)? (ii) existe \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) e, se existir, qual é — assim podemos saber se f pode ser estendida continuamente em (0,0)?

Passo 2

Continuidade em pontos (x,y)\neq(0,0).
Explicação didática: uma razão de polinômios é função contínua onde o denominador é diferente de zero. Aqui o numerador 7x^{3}y+4xy^{3} e o denominador x^{2}+y^{2} são polinômios, e para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}+y^{2}>0. Logo f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Preparar a função para estudar o limite em (0,0): fatoração.
Fatoramos o numerador para simplificar e facilitar estimativas:
7x^{3}y+4xy^{3}=xy(7x^{2}+4y^{2}).
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y)=\frac{xy(7x^{2}+4y^{2})}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Estimativa do módulo de f(x,y). Objetivo: mostrar que f(x,y)\to 0 quando (x,y)\to(0,0).
Primeiro note que, para todo (x,y),
7x^{2}+4y^{2}\le 7x^{2}+7y^{2}=7(x^{2}+y^{2}),
logo
\left|\frac{7x^{2}+4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|\le 7.
Assim
|f(x,y)|=\left|\frac{xy(7x^{2}+4y^{2})}{x^{2}+y^{2}}\right| \le 7\,|xy|.
Agora usamos a desigualdade simples que vem de (x-y)^{2}\ge 0 (ou da AM-GM): para todo x,y,
2|xy|\le x^{2}+y^{2},
ou seja
|xy|\le\frac{x^{2}+y^{2}}{2}.
Combinando as duas desigualdades obtemos
|f(x,y)|\le 7\,|xy|\le \frac{7}{2}(x^{2}+y^{2}).

Passo 5

Conclusão sobre o limite em (0,0).
A estimativa do Passo 4 mostra que, quando (x,y)\to(0,0), o lado direito \frac{7}{2}(x^{2}+y^{2})\to 0. Pelo teorema do confronto (ou encadeamento),
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Isto prova que o limite existe e vale 0.

Passo 6

Interpretação final sobre continuidade.
  • Como mostrado no Passo 2, f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
  • Pelo Passo 5, \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0. Se quisermos que f seja contínua também em (0,0), basta definir
f(0,0)=0,
então a função estendida será contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
  • Se a função for considerada apenas com a fórmula dada (sem valor em (0,0)), então ela não está definida em (0,0) e, portanto, a pergunta de continuidade ali depende da definição no ponto. Mas matematicamente podemos afirmar que o limite existe e é 0, permitindo a extensão contínua.

Resposta

f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0, logo definindo f(0,0)=0 a função fica contínua em todo \mathbb{R}^2.

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