Resolva as equações diferenciais com as condições iniciais indicadas (PVI):
y^{\prime \prime}-4 y=1, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O problema pede para determinar a solução do problema de valor inicial (PVI) formado pela equação diferencial e pelas condições iniciais dadas. Informações fornecidas:
y'' - 4y = 1,\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Queremos encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação diferencial para todo x e que atenda às condições iniciais em x=0.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (isto ajuda a construir a solução geral). A equação homogênea é
y'' - 4y = 0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica:
r^2 - 4 = 0.
Isso é uma equação quadrática simples; suas raízes são obtidas por fatoração ou fórmula de Bhaskara:
r^2-4=(r-2)(r+2)=0\quad\Rightarrow\quad r=2,\; r=-2.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Explicação rápida: cada raiz r dá uma solução e^{rx}; combinações lineares dessas soluções dão a solução geral da homogênea.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p da equação completa \;y''-4y=1. Observação didática: o termo do lado direito é uma constante ( 1), então uma boa tentativa é procurar uma solução particular também constante. Suponha
y_p(x) = A,
onde A é uma constante desconhecida. Então suas derivadas são y_p' = 0 e y_p'' = 0. Substituindo na equação diferencial:
0 - 4A = 1 \quad\Rightarrow\quad -4A = 1.
Logo
A = -\frac{1}{4}.
Portanto uma solução particular é
y_p(x) = -\frac{1}{4}.
Comentário: escolhemos constante porque derivadas de constantes são zero, e isso torna possível anular o lado esquerdo menos um múltiplo da constante.

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com uma particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} - \frac{1}{4}.

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeira condição: y(0)=0. Substituindo x=0 em y(x):
y(0) = C_1 e^{0} + C_2 e^{0} - \frac{1}{4} = C_1 + C_2 - \frac{1}{4}.
Como y(0)=0, obtemos a equação
C_1 + C_2 - \frac{1}{4} = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = \frac{1}{4}.
Segunda condição: calcule y'(x). Derivando a solução geral:
y'(x) = 2C_1 e^{2x} - 2C_2 e^{-2x} + 0.
Substituindo x=0 e usando y'(0)=0:
y'(0) = 2C_1 - 2C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2C_1 - 2C_2 = 0.
Dividindo por 2:
C_1 - C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 = C_2.

Passo 6

Resolvendo o sistema formado por C_1 + C_2 = \tfrac{1}{4} e C_1 = C_2: substituindo C_2=C_1 na primeira equação,
C_1 + C_1 = \frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad 2C_1 = \frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{1}{8}.
Portanto C_2 = \frac{1}{8}.
Substituindo C_1 e C_2 na solução geral:
y(x) = \frac{1}{8}e^{2x} + \frac{1}{8}e^{-2x} - \frac{1}{4}.

Passo 7

Podemos simplificar a expressão usando a função hiperbólica cosseno. Lembrando que \operatorname{cosh}(2x)=\dfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}, temos
\frac{1}{8}\bigl(e^{2x}+e^{-2x}\bigr) = \frac{1}{4}\operatorname{cosh}(2x).
Assim uma forma mais compacta é
y(x) = \frac{1}{4}\operatorname{cosh}(2x) - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\bigl(\operatorname{cosh}(2x)-1\bigr).
Também usando a identidade \operatorname{cosh}(2x)-1 = 2\operatorname{sinh}^2(x), obtemos a forma alternativa
y(x) = \frac{1}{2}\operatorname{sinh}^2(x).
Qualquer uma dessas formas está correta e equivalente.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{4}\bigl(\operatorname{cosh}(2x)-1\bigr)

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