Resolva as equações diferenciais com as condições iniciais indicadas (PVI):
Passo 1
O problema pede para determinar a solução do problema de valor inicial (PVI) formado pela equação diferencial e pelas condições iniciais dadas. Informações fornecidas:
Queremos encontrar uma função
que satisfaça a equação diferencial para todo
e que atenda às condições iniciais em
.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (isto ajuda a construir a solução geral). A equação homogênea é
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica:
Isso é uma equação quadrática simples; suas raízes são obtidas por fatoração ou fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicação rápida: cada raiz
dá uma solução
; combinações lineares dessas soluções dão a solução geral da homogênea.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa
. Observação didática: o termo do lado direito é uma constante (
), então uma boa tentativa é procurar uma solução particular também constante. Suponha
onde
é uma constante desconhecida. Então suas derivadas são
e
. Substituindo na equação diferencial:
Logo
Portanto uma solução particular é
Comentário: escolhemos constante porque derivadas de constantes são zero, e isso torna possível anular o lado esquerdo menos um múltiplo da constante.
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com uma particular:
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeira condição:
. Substituindo
em
:
Como
, obtemos a equação
Segunda condição: calcule
. Derivando a solução geral:
Substituindo
e usando
:
Dividindo por
:
Passo 6
Resolvendo o sistema formado por
e
: substituindo
na primeira equação,
Portanto
.
Substituindo
e
na solução geral:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão usando a função hiperbólica cosseno. Lembrando que
, temos
Assim uma forma mais compacta é
Também usando a identidade
, obtemos a forma alternativa
Qualquer uma dessas formas está correta e equivalente.