Mostre que uma solução implícita de
2 x \sin ^{2}(y) d x-\left(x^{2}+10\right) \cos (y) d y=0
é dada por \ln \left(x^{2}+10\right)+\csc (y)=C. Ache as soluções constantes, se houver, que foram perdidas na solução da equação diferencial

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2 x \sin^{2}(y)\,dx-\left(x^{2}+10\right)\cos(y)\,dy=0
e pede duas coisas: (i) mostrar que uma solução implícita é \ln\left(x^{2}+10\right)+\csc(y)=C; (ii) achar as soluções constantes que eventualmente foram perdidas ao obter essa solução.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a equação está em forma diferencial com dx e dy; a expressão proposta para a solução envolve \ln e \csc; note que \csc(y)=1/\sin(y) é indefinida quando \sin(y)=0. Não resolvo nada aqui, só organizei o que o problema pede.

Passo 2

Transformação inicial — separar variáveis. Vou rearranjar a equação para colocar termos em x num lado e termos em y no outro. A equação é
2 x \sin^{2}(y)\,dx=\left(x^{2}+10\right)\cos(y)\,dy.
Divido ambos os lados por \left(x^{2}+10\right) e por \sin^{2}(y). Isso é legitimo sempre que \sin(y)\neq 0 (caso \sin(y)=0 será tratado depois). Obtenho
\frac{2x}{x^{2}+10}\,dx=\frac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)}\,dy.

Passo 3

Integração do lado em x. Vou integrar
\int \frac{2x}{x^{2}+10}\,dx.
Aqui uso a técnica de substituição simples: se eu definir u=x^{2}+10, então du=2x\,dx. Logo a integral fica
\int \frac{du}{u}=\ln|u|+C.
Como u=x^{2}+10>0 para todo x, o valor absoluto é desnecessário e a integral é
\int \frac{2x}{x^{2}+10}\,dx=\ln\left(x^{2}+10\right)+C.
Explicação extra: essa é uma forma padrão — quando a derivada do denominador aparece no numerador, a integral é o logaritmo natural do denominador.

Passo 4

Integração do lado em y. Vou integrar
\int \frac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)}\,dy.
Faço a substituição u=\sin(y), então du=\cos(y)\,dy. Assim a integral vira
\int u^{-2}\,du.
A primitiva de u^{-2} é -u^{-1}+C. Voltando a y,
\int \frac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)}\,dy=-\frac{1}{\sin(y)}+C=-\csc(y)+C.
Observação: essa operação exige \sin(y)\neq 0, pois usamos u=\sin(y) e depois 1/\sin(y).

Passo 5

Juntando as integrais e escrevendo a solução implícita. Das integrais do Passo 3 e do Passo 4 temos
\ln\left(x^{2}+10\right)=-\csc(y)+C.
Rearranjando para colocar tudo num só lado:
\ln\left(x^{2}+10\right)+\csc(y)=C,
que é exatamente a forma proposta no enunciado. Aqui C é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Verificação das hipóteses feitas e busca de soluções constantes perdidas. Ao separar variáveis no Passo 2 dividi por \sin^{2}(y), portanto perdi as possíveis soluções com \sin(y)=0. Vamos checar soluções constantes y(x)=y_{0} (ou seja, y não depende de x, logo dy=0). Substituindo dy=0 na equação original obtemos
2x\sin^{2}(y_{0})\,dx=0.
Para que isso seja verdadeiro para todo x (isto é, para a função constante ser solução), é necessário que \sin^{2}(y_{0})=0, ou seja \sin(y_{0})=0. Assim
y_{0}=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Verificação final: para y=k\pi temos \sin(y)=0 e \cos(y)=\pm 1, e com dy=0 os dois termos da equação original são nulos, satisfazendo a equação. Essas soluções constantes não aparecem na solução implícita \ln\left(x^{2}+10\right)+\csc(y)=C porque aí \csc(y) é indefinida quando \sin(y)=0.

Passo 7

Resumo didático rápido: se \sin(y)\neq 0 separamos variáveis, integramos e obtemos a família implícita \ln\left(x^{2}+10\right)+\csc(y)=C. As soluções constantes com \sin(y)=0 (ou seja y=k\pi) foram excluídas na separação porque dividimos por \sin^{2}(y), então precisam ser listadas separadamente — e de fato são soluções válidas.

Resposta

\ln\left(x^{2}+10\right)+\csc(y)=C
y=k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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