Mostre que uma solução implícita de
é dada por
. Ache as soluções constantes, se houver, que foram perdidas na solução da equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (i) mostrar que uma solução implícita é
; (ii) achar as soluções constantes que eventualmente foram perdidas ao obter essa solução.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a equação está em forma diferencial com e
; a expressão proposta para a solução envolve
e
; note que
é indefinida quando
. Não resolvo nada aqui, só organizei o que o problema pede.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a equação está em forma diferencial com
Passo 2
Transformação inicial — separar variáveis. Vou rearranjar a equação para colocar termos em
num lado e termos em
no outro. A equação é
Divido ambos os lados por
e por
. Isso é legitimo sempre que
(caso
será tratado depois). Obtenho
Passo 3
Integração do lado em
. Vou integrar
Aqui uso a técnica de substituição simples: se eu definir
, então
. Logo a integral fica
Como
para todo
, o valor absoluto é desnecessário e a integral é
Explicação extra: essa é uma forma padrão — quando a derivada do denominador aparece no numerador, a integral é o logaritmo natural do denominador.
Passo 4
Integração do lado em
. Vou integrar
Faço a substituição
, então
. Assim a integral vira
A primitiva de
é
. Voltando a
,
Observação: essa operação exige
, pois usamos
e depois
.
Passo 5
Juntando as integrais e escrevendo a solução implícita. Das integrais do Passo 3 e do Passo 4 temos
Rearranjando para colocar tudo num só lado:
que é exatamente a forma proposta no enunciado. Aqui
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Verificação das hipóteses feitas e busca de soluções constantes perdidas. Ao separar variáveis no Passo 2 dividi por
, portanto perdi as possíveis soluções com
. Vamos checar soluções constantes
(ou seja,
não depende de
, logo
). Substituindo
na equação original obtemos
Para que isso seja verdadeiro para todo
(isto é, para a função constante ser solução), é necessário que
, ou seja
. Assim
Verificação final: para
temos
e
, e com
os dois termos da equação original são nulos, satisfazendo a equação. Essas soluções constantes não aparecem na solução implícita
porque aí
é indefinida quando
.
Passo 7
Resumo didático rápido: se
separamos variáveis, integramos e obtemos a família implícita
. As soluções constantes com
(ou seja
) foram excluídas na separação porque dividimos por
, então precisam ser listadas separadamente — e de fato são soluções válidas.