4^a Questão: (1,0 ponto)
Mostre que a série sumi=1^infty (-1)^n-1n é convergente, mas não é absolutamente convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a série sumn=1^infty (-1)^n-1n é convergente, mas não é absolutamente convergente. Vamos usar os conhecimentos de séries alternadas e séries absolutas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é convergente. A série que temos é uma série alternada porque os termos mudam de sinal alternadamente devido ao (-1)^n-1.

Passo 3

Para séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos bn = 1n são positivos, decrescentes e tendem a zero quando n vai para o infinito, então a série é convergente.

Passo 4

Vamos verificar cada condição:
  1. Positivos: bn = 1n é positivo para todo n >= 1.
  2. Decrescentes: Conforme n aumenta, 1n diminui.
  3. Tendem a zero: limn to infty 1n = 0.
Como todas as condições são atendidas, a série é convergente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos: sumn=1^infty | (-1)^n-1n | = sumn=1^infty 1n.

Passo 6

A série sumn=1^infty 1n é a famosa Série Harmônica, que sabemos que não converge, ou seja, ela é divergente.

Passo 7

Como a série dos valores absolutos diverge, concluímos que a série original não é absolutamente convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n-1n é convergente, mas não é absolutamente convergente.

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