Questão: (1,0 ponto)
Mostre que a série é convergente, mas não é absolutamente convergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a série é convergente, mas não é absolutamente convergente. Vamos usar os conhecimentos de séries alternadas e séries absolutas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é convergente. A série que temos é uma série alternada porque os termos mudam de sinal alternadamente devido ao .
Passo 3
Para séries alternadas, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série é convergente.
Passo 4
Vamos verificar cada condição:
Positivos: é positivo para todo .
Decrescentes: Conforme aumenta, diminui.
Tendem a zero: .
Como todas as condições são atendidas, a série é convergente.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos: .
Passo 6
A série sumn=1^infty 1n é a famosa Série Harmônica, que sabemos que não converge, ou seja, ela é divergente.
Passo 7
Como a série dos valores absolutos diverge, concluímos que a série original não é absolutamente convergente.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n-1n é convergente, mas não é absolutamente convergente.