2^a Questão: (1,0 ponto) Sabe-se que se an>0 e lim an+1an=L, então lim raiz[n]an=L. Utilizando desse fato, calcule
lim raiz[n]n!n^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o limite lim raiz[n]n!n^n. Esse problema está ligado a um conceito de limites envolvendo sequências e séries. Para resolver, vamos usar um fato que diz: se an > 0 e lim an+1an = L, então lim raiz[n]an = L. Ou seja, se a razão entre termos consecutivos de uma sequência tende a L, então a raiz enésima desse termo também tende a L. Vamos aplicar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar an na nossa expressão. Aqui, an = n!n^n. Agora, precisamos encontrar an+1an. Isso significa dividir o termo an+1 pelo termo an.

Passo 3

Vamos calcular an+1:
an+1 = (n+1)!(n+1)^n+1
Agora, vamos dividir an+1 por an:
an+1an = (n+1)!(n+1)^n+1n!n^n

Passo 4

Simplificando essa fração:
an+1an = (n+1)!n! times n^n(n+1)^n+1
Sabemos que (n+1)!n! = n+1, então:
an+1an = (n+1) times n^n(n+1)^n+1

Passo 5

Vamos reescrever n^n(n+1)^n+1:
n^n(n+1)^n+1 = n^n(n+1)^n times (n+1) = (nn+1)^n times 1n+1
Portanto:
an+1an = (n+1) times (nn+1)^n times 1n+1 = (nn+1)^n

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite de an+1an quando n tende a infinito:
limn to infty (nn+1)^n
Sabemos que (1 - 1n+1)^n tende a 1e quando n tende ao infinito. Portanto:
limn to infty (nn+1)^n = 1e

Passo 7

Segundo o fato que mencionamos no começo, temos que:
limn to infty raiz[n]n!n^n = limn to infty an+1an = 1e

Resposta

O limite é 1e.

Exercícios relacionados