3 ^a Questão: (1,0 ponto)
Mostre que a série sumi=1^infty sin n^2+3 cos nn^2 é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que a série sumn=1^infty sin n^2+3 cos nn^2 converge. Vamos usar conceitos de séries e convergência, especificamente o Teste da Convergência Absoluta. Para isso, vamos analisar a série dos valores absolutos e ver se ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | sin n^2 + 3 cos nn^2 |
Isso ajuda porque se a série dos valores absolutos converge, a série original também converge absolutamente.

Passo 3

Vamos analisar o numerador sin n^2 + 3 cos n. Sabemos que:
|sin n^2| <= 1 e |3 cos n| <= 3
Portanto,
|sin n^2 + 3 cos n| <= |sin n^2| + |3 cos n| <= 1 + 3 = 4

Passo 4

Agora, temos:
| sin n^2 + 3 cos nn^2 | <= 4n^2
Então, a série dos valores absolutos é menor ou igual a:
sumn=1^infty 4n^2 = 4 sumn=1^infty 1n^2

Passo 5

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p com p=2, e como p > 1, essa série converge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos sumn=1^infty 4n^2 converge, pelo Teste da Convergência Absoluta, a série original sumn=1^infty sin n^2+3 cos nn^2 também converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty sin n^2+3 cos nn^2 é convergente.

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