Questão 5 (1,0 ponto)

A observação na superfície da Terra de partículas \mu (múons) formadas na parte superior da atmosfera, como radiação secundária de raios cósmicos, constitui uma evidência experimental da dilatação relativística
do tempo. Os múons são partículas instáveis e decaem segundo a lei N(t)=N_{0} \cdot e^{-t / \tau} onde N_{0} é o número inicial de partículas e t sua vida média; para a partícula em repouso, \tau=2 \cdot 10^{-6} s. Sendo assim, responda:
a) Imaginemos um pulso de múons formados na atmosfera, com N_{0}=10^{8}, a uma altitude de aproximadamente 10 km , com velocidade v=0,998 c. Considerando apenas a vida média de repouso, qual distância percorridas pelas partículas e quantas partículas chegam a superfície da Terra?
b) Agora, considerando o tempo de vida média de repouso e o tempo de vida média no referencial da Terra, qual distância percorridas pelas partículas e quantas partículas chegam a superfície da Terra?

Passo 1

O enunciado trata de múons formados a uma altitude L=10 km, viajando com velocidade v=0,998\,c, e decaindo segundo
N(t)=N_{0}\,e^{-t/\tau},
onde N_{0}=10^{8} e a vida média em repouso é \tau=2\times10^{-6} s.
Vamos calcular, em (a) sem dilatação do tempo e em (b) incluindo dilatação, a distância média percorrida e o número de múons que atingem a superfície.

Passo 2

Para (a), ignorando dilatação, a vida média no referencial da Terra é \tau. A distância média percorrida é
d = v\,\tau = 0,998\,c \times 2\times10^{-6}\,\mathrm{s}.
Substituindo c=3\times10^{8} m/s,
d \approx 0,998 \times 3\times10^{8}\times2\times10^{-6}\,\mathrm{m}\approx600\,\mathrm{m}.

Passo 3

Ainda em (a), o tempo para os múons percorrerem L=10 km é
t = \frac{L}{v} = \frac{10^{4}\,\mathrm{m}}{0,998\,c}\approx3,34\times10^{-5}\,\mathrm{s}.
O número que chega é
N = N_{0}\,e^{-t/\tau} =10^{8}\,e^{-3,34\times10^{-5}/(2\times10^{-6})} \approx10^{8}e^{-16,7}\approx6.

Passo 4

Para (b), incluímos dilatação:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}} \approx\frac{1}{\sqrt{1-0,998^{2}}}\approx15,8,
logo a vida média no solo é
\tau' = \gamma\,\tau \approx15,8\times2\times10^{-6}\,\mathrm{s} \approx3,16\times10^{-5}\,\mathrm{s}.
A distância média percorrida fica
d' = v\,\tau' \approx0,998\,c\times3,16\times10^{-5}\,\mathrm{s}\approx9,5\,\mathrm{km}.

Passo 5

Em (b), o tempo de viagem até o solo continua t\approx3,34\times10^{-5} s, então
N = N_{0}\,e^{-t/\tau'} =10^{8}\,e^{-3,34\times10^{-5}/3,16\times10^{-5}} \approx10^{8}e^{-1,06}\approx3,5\times10^{7}.

Resposta

Parte a: d\approx600 m e N\approx6.
Parte b: d'\approx9,5 km e N\approx3{,}5\times10^{7}.

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