Questão 8 (1,0 ponto)

Um acelerador fornece prótons com a energia cinética de 2,5 \mathrm{GeV}. Ache a velocidade ( \beta ), a massa relativística e a energia total desses prótons ( m_{p}= \left.938,2 \mathrm{MeV} / \mathrm{c}^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá prótons com energia cinética K=2,5\\ \mathrm{GeV} e massa de repouso
m_{p}=938{,}2\\ \mathrm{MeV}/c^{2}.
Precisamos usar a relatividade especial, em que a energia total é
E_{\text{total}}=K + m_{p}c^{2},
o fator de Lorentz é
\gamma = \frac{E_{\text{total}}}{m_{p}c^{2}},
a velocidade normalizada é
\beta = \frac{v}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^{2}}},
e a massa relativística é
m_{\text{rel}} = \gamma\,m_{p}.

Passo 2

Calcular a energia total em \mathrm{MeV}:
E_{\text{total}} =K + m_{p}c^{2} =2500\\ \mathrm{MeV} + 938{,}2\\ \mathrm{MeV} =3438{,}2\\ \mathrm{MeV}.

Passo 3

Determinar o fator de Lorentz \gamma:
\gamma =\frac{E_{\text{total}}}{m_{p}c^{2}} =\frac{3438{,}2}{938{,}2} \approx 3{,}6637 \approx 3{,}664.

Passo 4

Calcular \beta:
\beta =\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^{2}}} =\sqrt{1 - \frac{1}{(3{,}664)^{2}}} \approx \sqrt{1 - 0{,}07455} \approx \sqrt{0{,}92545} \approx 0{,}962.

Passo 5

Calcular a massa relativística:
m_{\text{rel}} =\gamma\,m_{p} =3{,}664 \times 938{,}2\\ \mathrm{MeV}/c^{2} \approx 3438{,}2\\ \mathrm{MeV}/c^{2}.

Resposta

\displaystyle \beta\approx0{,}962,\quad m_{\text{rel}}\approx3438{,}2\\ \mathrm{MeV}/c^{2},\quad E_{\text{total}}\approx3438{,}2\\ \mathrm{MeV}.

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