Questão 6 ( 1,0 ponto)

Uma astronave cujo comprimento próprio é 100 m passa por uma plataforma espacial com velocidade v= 0,6 c. O piloto pode acender duas lâmpadas, colocadas nas extremidades A^{\prime} e B^{\prime} da nave, por meio de sinais luminosos mandados do ponto C^{\prime}, situado no meio da distância A^{\prime} B^{\prime}. O piloto, situado em C^{\prime}, ao passar pelo observador C, situado na plataforma, dispara um flash. Piloto e observador disparam seus relógios nesse momento. Ache:
a) A distância entre as lâmpadas para o observador na plataforma.
b) A separação entre os clarões em A^{\prime} e B^{\prime} no relógio do piloto em C^{\prime}.
c) A separação entre esses clarões no relógio do observador em C.

Passo 1

O enunciado fala de uma nave que, em seu referencial (repouso na nave), tem comprimento próprio L_{0}=100 m e move-se à velocidade v=0,6\,c em relação a uma plataforma. No instante em que o ponto médio da nave C' passa pelo observador C na plataforma, dispara-se um flash em C', ligando simultaneamente (no referencial da nave) duas lâmpadas nas extremidades A' e B' por sinais luminosos. Precisamos usar:
  • Contração de comprimento para achar a distância entre A' e B' na plataforma.
  • No referencial da nave, os sinais percorrem igual distância até A' e B', logo são simultâneos ali.
  • Transformação de Lorentz para encontrar o intervalo de tempo entre os clarões no relógio da plataforma.

Passo 2

Para o observador da plataforma o comprimento da nave está contraído em
L = \frac{L_{0}}{\gamma}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^{2}}}, \quad \beta = \frac{v}{c} = 0,6.
Calculando
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,6^{2}}} = 1,25,
L = \frac{100\text{ m}}{1,25} = 80\text{ m}.

Passo 3

No referencial da nave, o ponto C' está a 50 m de cada extremidade. Os sinais luminosos viajam à velocidade c, chegando às lâmpadas em
\Delta t' = \frac{50\text{ m}}{c}.
Como ambas percorrem a mesma distância, chegam simultaneamente no referencial da nave, ou seja
\Delta t' = 0.

Passo 4

Para a plataforma, usemos a transformação de tempo de Lorentz. Seja o evento A o clarão em A' e o evento B o clarão em B'. No referencial da nave:
x'_{A} = -50\text{ m},\quad t'_{A} = \frac{50\text{ m}}{c}; \quad x'_{B} = +50\text{ m},\quad t'_{B} = \frac{50\text{ m}}{c}.
A transformação é
t = \gamma\Bigl(t' + \frac{v\,x'}{c^{2}}\Bigr).
Logo
t_{A} = 1{,}25\Bigl(\frac{50}{c} + \frac{0{,}6\,(-50)}{c}\Bigr) = 1{,}25\cdot\frac{50}{c}(1 - 0{,}6) = \frac{25}{c},
t_{B} = 1{,}25\Bigl(\frac{50}{c} + \frac{0{,}6\cdot 50}{c}\Bigr) = 1{,}25\cdot\frac{50}{c}(1 + 0{,}6) = \frac{100}{c}.
A separação temporal medida na plataforma é
\Delta t = t_{B} - t_{A} = \frac{100 - 25}{c} = \frac{75}{c}\approx 2{,}5\times 10^{-7}\text{ s}.

Resposta

a) 80 m
b) 0
c) 2{,}5\times 10^{-7} s

Exercícios relacionados