Questão 7 ( 1,0 ponto)

No referencial S são observados dois eventos A ( x_{1}= \left.1, y_{1}=y_{0}, z_{1}=z_{0}, c t_{1}=2\right) e B\left(x_{2}=5, y_{2}=y_{0}, z_{2}=\right. z_{0}, c t_{2}=1 ). Ache a velocidade do referencial S^{\prime}, que se move ao longo do eixo x, no qual os eventos são simultâneos.

Passo 1

O enunciado dá dois eventos em S com coordenadas
A:(x_{1}=1,\;y_{1}=y_{0},\;z_{1}=z_{0},\;c t_{1}=2), \quad B:(x_{2}=5,\;y_{2}=y_{0},\;z_{2}=z_{0},\;c t_{2}=1).
Pede-se a velocidade v do referencial S', que se move ao longo de x, de modo que em S' os dois eventos sejam simultâneos. O conteúdo que vamos usar é a transformação de Lorentz para o tempo:
c t' = \gamma\bigl(c t - \beta \,x\bigr),
com \beta = v/c e \gamma = 1/\sqrt{1-\beta^{2}}.

Passo 2

Para que A e B sejam simultâneos em S', precisamos ter
c t_{1}' = c t_{2}'.
Pela transformação de Lorentz:
c t_{1}' = \gamma\bigl(c t_{1} - \beta\,x_{1}\bigr), \quad c t_{2}' = \gamma\bigl(c t_{2} - \beta\,x_{2}\bigr).
Igualando e cancelando \gamma, obtemos
c t_{1} - \beta\,x_{1} = c t_{2} - \beta\,x_{2}.

Passo 3

Reorganizando para isolar \beta:
\beta\,(x_{2}-x_{1}) = c t_{2} - c t_{1}.
Substituindo os valores numéricos:
x_{2}-x_{1} = 5 - 1 = 4, \quad c t_{2} - c t_{1} = 1 - 2 = -1.
Logo
\beta = \frac{-1}{4} = -0,25.

Passo 4

Como \beta = v/c, temos
v = \beta\,c = -\tfrac{1}{4}\,c.
O sinal negativo indica que S' se move no sentido negativo do eixo x em relação a S.

Resposta

v = -\dfrac{c}{4}.

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