QUESTÃO 2 (1 ponto) - Use a expansão por cofatores ou as operações elementares para calcular o determinante das matrizes A e B abaixo. Qual é o determinante da matriz (2 A B)^{-1} ?
A=\left[\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 2 & -1 & 5 \\\\ -5 & 3 & 2 & -5 & -3 \\\\ -3 & 2 & -5 & -3 & -2 \\\\ 4 & 1 & 4 & -4 & 4 \\\\ -1 & -1 & -5 & 4 & 2 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{ccccc} -2 & -2 & -2 & 1 & -5 \\\\ 1 & -1 & 2 & 1 & 5 \\\\ -4 & 1 & -1 & 1 & 4 \\\\ -2 & 1 & -3 & 2 & 3 \\\\ -5 & 0 & -1 & -5 & 5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o determinante de (2AB)^{-1}. Usamos as propriedades de determinantes:
  1. \det(2AB)=2^n\det(A)\det(B) para matriz n\times n.
  2. \det\bigl(M^{-1}\bigr)=1/\det(M).
    Aqui n=5, logo
\det\bigl((2AB)^{-1}\bigr) =\frac{1}{\det(2AB)} =\frac{1}{2^5\,\det(A)\,\det(B)} =\frac{1}{32\,\det(A)\,\det(B)}.
Precisamos, então, calcular \det(A) e \det(B).

Passo 2

Cálculo de \det(A) por operações elementares:
  1. Troquei a linha 1 com a linha 2 ( \times(-1) no determinante).
  2. Eliminei entradas abaixo de a_{11} com combinações de linhas (não alteram o determinante).
  3. Fica um fator -5 na posição (1,1) e um menor 4\times4 com frações. Para limpar denominadores multipliquei três linhas por 5 ( \times5^3 no menor) e depois tratei esse menor por eliminação e expansão.
    O resultado final é
\det(A)=-895.

Passo 3

Cálculo de \det(B) por operações elementares:
  1. Troquei a linha 1 com a linha 2 \times(-1) no determinante).
  2. Usei aquela nova linha 1 como pivô e eliminei abaixo.
  3. Sobrou um menor 4\times4; fiz mais uma troca de linhas ( \times(-1) e eliminação, terminando num menor 3\times3.
    O valor obtido é
\det(B)=1514.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do passo 1:
\det\bigl((2AB)^{-1}\bigr) =\frac{1}{32\,\det(A)\,\det(B)} =\frac{1}{32\times(-895)\times1514} =-\frac{1}{43360960}.

Resposta

-\frac{1}{43360960}

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