Calcule o volume do sólido, obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y=\sqrt{x}, y=2 e x=0 em torno da reta:
y=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar a região limitada pelas curvas y=\sqrt{x}, y=2 e x=0 em torno da reta y=0.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A curva y=\sqrt{x} passa por (0,0) e por (4,2) (porque 2=\sqrt{x}\Rightarrow x=4).
  • A reta horizontal y=2 une (0,2) a (4,2).
  • A reta vertical x=0 é o eixo y e une (0,0) a (0,2).
  • A região limitada é a região fechada com vértices em (0,0), (4,2) e (0,2): para cada x entre 0 e 4, y varia de y=\sqrt{x} até y=2.
O que se pede: calcular o volume do sólido gerado por essa região quando girada em torno de y=0.

Passo 2

Escolha do método para calcular o volume (explicando de forma didática e simples):
  • Uma forma bem direta é usar o método dos discos/lavadores (washers): tomar fatias verticais (paralelas a y) — cada fatia, ao girar em torno de y=0, gera um anel (um disco com furo). Esse método é conveniente quando a rotação é em torno de uma linha horizontal e as funções são dadas como y em função de x.
  • Regra do método dos lavadores: se uma fatia vertical em x tem, após rotação, raio externo R(x) e raio interno r(x), a área do anel é \pi\big(R(x)^2-r(x)^2\big) e o volume do elemento é \pi\big(R(x)^2-r(x)^2\big)\,dx. Integra-se sobre os valores de x que cobrem a região.
  • Vou usar esse método porque aqui as distâncias ao eixo y=0 são funções simples de x (ou constantes), tornando a integral fácil de montar e calcular.
Explicando a fórmula do lavador (pequena aula): uma fatia de largura \,dx tem volume aproximado igual à área transversal (área do anel) vezes a espessura \,dx. A área do anel é área do círculo externo \pi R^2 menos área do círculo interno \pi r^2, daí \pi(R^2-r^2). Integrando essas fatias obtém-se o volume total.

Passo 3

Determinar os raios externo e interno em função de x e os limites de integração:
  • O eixo de rotação é y=0. A distância vertical de um ponto de coordenada y até esse eixo é simplesmente y.
  • Para um dado x (com 0\le x\le4) a região vai de y=\sqrt{x} (parte inferior) até y=2 (parte superior).
  • Assim:
    • raio externo R(x) = distância de y=2 até y=0, logo R(x)=2 (constante).
    • raio interno r(x) = distância de y=\sqrt{x} até y=0, logo r(x)=\sqrt{x}.
  • Os limites de integração em x são desde x=0 até x=4 (interseção entre y=\sqrt{x} e y=2).

Passo 4

Montar a integral do volume usando a fórmula do lavador:
  • A área do anel em função de x é
\pi\big(R(x)^2-r(x)^2\big)=\pi\big(2^2-(\sqrt{x})^2\big)=\pi\big(4-x\big).
  • O volume é a integral dessa área de x=0 a x=4:
V=\int_{0}^{4}\pi\big(4-x\big)\,dx.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo:
V=\pi\int_{0}^{4}\big(4-x\big)\,dx =\pi\left[\;4x-\frac{x^{2}}{2}\;\right]_{0}^{4}.
Agora substituir os limites:
4x\Big|_{0}^{4}=4\cdot4-4\cdot0=16, \qquad \frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{4}=\frac{4^{2}}{2}-0=\frac{16}{2}=8.
Portanto
V=\pi\big(16-8\big)=8\pi.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para reforçar o entendimento): método das cascas cilíndricas (horizontal slices)
  • Tomando fatias horizontais de espessura dy em altura y\in[0,2]: cada fatia tem comprimento horizontal x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=y^{2}-0=y^{2} (peguei x=y^{2} da équação y=\sqrt{x}), e ao girar gera uma casca com raio y, comprimento da casca 2\pi y, e espessura dy.
  • Volume elemento: dV=2\pi y\cdot(\text{comprimento})\cdot dy = 2\pi y\cdot y^{2}\,dy = 2\pi y^{3}\,dy.
  • Integrando:
V=\int_{0}^{2}2\pi y^{3}\,dy = 2\pi\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{2} =2\pi\cdot\frac{16}{4}=2\pi\cdot4=8\pi,
que confirma o resultado obtido com lavadores.

Resposta

8\pi

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