Calcule o volume do sólido, obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno da reta:
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar a região limitada pelas curvas
,
e
em torno da reta
.
Informações dadas e observações imediatas:
- A curva
passa por e por (porque ). - A reta horizontal
une a . - A reta vertical
é o eixo e une a . - A região limitada é a região fechada com vértices em
, e : para cada entre e , varia de até .
O que se pede: calcular o volume do sólido gerado por essa região quando girada em torno de
.
Passo 2
Escolha do método para calcular o volume (explicando de forma didática e simples):
- Uma forma bem direta é usar o método dos discos/lavadores (washers): tomar fatias verticais (paralelas a
) — cada fatia, ao girar em torno de , gera um anel (um disco com furo). Esse método é conveniente quando a rotação é em torno de uma linha horizontal e as funções são dadas como em função de . - Regra do método dos lavadores: se uma fatia vertical em
tem, após rotação, raio externo e raio interno , a área do anel é e o volume do elemento é . Integra-se sobre os valores de que cobrem a região. - Vou usar esse método porque aqui as distâncias ao eixo
são funções simples de (ou constantes), tornando a integral fácil de montar e calcular.
Explicando a fórmula do lavador (pequena aula): uma fatia de largura
tem volume aproximado igual à área transversal (área do anel) vezes a espessura
. A área do anel é área do círculo externo
menos área do círculo interno
, daí
. Integrando essas fatias obtém-se o volume total.
Passo 3
Determinar os raios externo e interno em função de
e os limites de integração:
- O eixo de rotação é
. A distância vertical de um ponto de coordenada até esse eixo é simplesmente . - Para um dado
(com ) a região vai de (parte inferior) até (parte superior). - Assim:
- raio externo
= distância de até , logo (constante). - raio interno
= distância de até , logo .
- raio externo
- Os limites de integração em
são desde até (interseção entre e ).
Passo 4
Montar a integral do volume usando a fórmula do lavador:
- A área do anel em função de
é
- O volume é a integral dessa área de
a :
Passo 5
Calcular a integral passo a passo:
Agora substituir os limites:
Portanto
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, para reforçar o entendimento): método das cascas cilíndricas (horizontal slices)
- Tomando fatias horizontais de espessura
em altura : cada fatia tem comprimento horizontal (peguei da équação ), e ao girar gera uma casca com raio , comprimento da casca , e espessura . - Volume elemento:
. - Integrando:
que confirma o resultado obtido com lavadores.