Questão 3 (2-ponto) Verifique se a função
satisfaz a equação :
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para verificar se ela satisfaz a equação
O que é pedido: confirmar se, ao calcular as derivadas parciais segundas
e
, a combinação acima é igual a zero.
Passo 2
Estratégia e lembrete de regra (cadeia): como
depende de
e
apenas pela combinação
, podemos usar a regra da cadeia. Seja
. Então
.
Regra da cadeia para derivada parcial: se com
, então
Regra da cadeia para derivada parcial: se
Aqui
e
. Também calculemos as derivadas de
:
Passo 3
Calcular
. Aplicando a regra da cadeia:
Em termos de
e
:
Passo 4
Calcular
. Derivamos
em relação a
, usando novamente a regra da cadeia:
Portanto
Passo 5
Calcular
. Usando a regra da cadeia com
:
Ou seja
Passo 6
Calcular
. Duas maneiras equivalentes — aqui uso a regra direta: derivar
em
:
Substituindo
:
Assim
(Obs.: alternativamente, pela fórmula da derivada segunda por cadeia,
. Aqui
,
e
, dando
, mesma resposta.)
Passo 7
Substituir em
. Usando os resultados:
Então
Passo 8
Conclusão: para todo
tem-se
. Logo a função dada satisfaz a equação proposta.
Resposta
Sim.