Questão 3 (2-ponto) Verifique se a função f(x, t)=\sin (x-2 t) satisfaz a equação :
f_{x x}-\frac{1}{4} f_{t t}=0

Passo 1

O enunciado fornece a função \,f(x,t)=\sin(x-2t)\, e pede para verificar se ela satisfaz a equação
f_{x x}-\frac{1}{4}f_{t t}=0.
O que é pedido: confirmar se, ao calcular as derivadas parciais segundas \,f_{xx} e \,f_{tt}, a combinação acima é igual a zero.

Passo 2

Estratégia e lembrete de regra (cadeia): como \,f depende de x e t apenas pela combinação \theta(x,t)=x-2t, podemos usar a regra da cadeia. Seja \theta=x-2t. Então \,f(x,t)=\sin\theta.
Regra da cadeia para derivada parcial: se f(x,t)=g(\theta(x,t)) com g'(\theta)=\frac{d}{d\theta}g(\theta), então
f_x = g'(\theta)\,\theta_x,\qquad f_t = g'(\theta)\,\theta_t.
Aqui g(\theta)=\sin\theta e g'(\theta)=\cos\theta. Também calculemos as derivadas de \theta:
\theta_x=\frac{\partial}{\partial x}(x-2t)=1,\qquad \theta_t=\frac{\partial}{\partial t}(x-2t)=-2.

Passo 3

Calcular \,f_x. Aplicando a regra da cadeia:
f_x = g'(\theta)\,\theta_x = \cos\theta\cdot 1 = \cos\theta.
Em termos de x e t:
f_x(x,t)=\cos(x-2t).

Passo 4

Calcular \,f_{xx}. Derivamos \,f_x=\cos\theta em relação a x, usando novamente a regra da cadeia:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(\cos\theta) = -\sin\theta\cdot \theta_x = -\sin\theta\cdot 1 = -\sin\theta.
Portanto
f_{xx}(x,t)=-\sin(x-2t).

Passo 5

Calcular \,f_t. Usando a regra da cadeia com \theta_t=-2:
f_t = g'(\theta)\,\theta_t = \cos\theta\cdot(-2) = -2\cos\theta.
Ou seja
f_t(x,t)=-2\cos(x-2t).

Passo 6

Calcular \,f_{tt}. Duas maneiras equivalentes — aqui uso a regra direta: derivar -2\cos\theta em t:
f_{tt} = \frac{\partial}{\partial t}(-2\cos\theta) = -2\cdot(-\sin\theta)\cdot \theta_t.
Substituindo \theta_t=-2:
f_{tt} = -2\cdot(-\sin\theta)\cdot(-2) = -4\sin\theta.
Assim
f_{tt}(x,t)=-4\sin(x-2t).
(Obs.: alternativamente, pela fórmula da derivada segunda por cadeia, f_{tt}=g''(\theta)(\theta_t)^2+g'(\theta)\theta_{tt}. Aqui g''(\theta)=-\sin\theta, (\theta_t)^2=(-2)^2=4 e \theta_{tt}=0, dando f_{tt}=-\sin\theta\cdot 4 = -4\sin\theta, mesma resposta.)

Passo 7

Substituir em \,f_{xx}-\dfrac{1}{4}f_{tt}. Usando os resultados:
f_{xx} = -\sin\theta,\qquad f_{tt}=-4\sin\theta.
Então
f_{xx}-\frac{1}{4}f_{tt} = -\sin\theta - \frac{1}{4}\bigl(-4\sin\theta\bigr) = -\sin\theta + \sin\theta = 0.

Passo 8

Conclusão: para todo (x,t) tem-se \,f_{xx}-\dfrac{1}{4}f_{tt}=0. Logo a função dada satisfaz a equação proposta.

Resposta

Sim. \,f_{xx}-\dfrac{1}{4}f_{tt}=0

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