Questao 1 (4 pontos) - Agua deve ser bombeada de um grande reservatorio mais baixo para outro grande reservatório 40 m acima do primeiro, ambos os reservatórios estão abertos para a atmosfera, a vazão é de 10 \mathrm{l} / \mathrm{s}. O bombeamento ocorre empregando uma tubulação de 120 m de comprimento total, com 75 mm de diâmetro interno de aluminio trefilado. O tubo é conectado aos tanques formando entrada e saída en canto vivo. A tubulação tem 2 cotovelos de 90^{\circ}, 4 de 45^{\circ}, uma válvula e 5 juntas de coeficiente de perda \mathrm{K}=1. A bomba empregada tem eficiência de 80 \%.
a) Determine a potência de acionamento da bomba para produzir este escoamento

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência de acionamento da bomba que deve elevar água de um reservatório para outro a 40\\ \mathrm{m} acima, vazão 10\\ \mathrm{l}/\mathrm{s}, tubulação de comprimento total 120\\ \mathrm{m} e diâmetro interno 75\\ \mathrm{mm}. Outras perdas: entrada e saída em canto vivo, 2 cotovelos de 90^\circ, 4 cotovelos de 45^\circ, uma válvula e 5 juntas com coeficiente de perda K=1. A bomba tem eficiência 80\%.\n\nDados extraídos do enunciado (todos os números em TeX):\n- Vazão: Q = 10\\ \mathrm{l}/\mathrm{s} = 0{,}01\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.\n- Desnível geométrico: \(\Delta z = 40\\ \mathrm{m}.\n- Comprimento do tubo: \(L = 120\\ \mathrm{m}.\n- Diâmetro interno: \(D = 75\\ \mathrm{mm} = 0{,}075\\ \mathrm{m}.\n- Número e tipos de acessórios: \(2 cotovelos 90^\circ, 4 cotovelos 45^\circ, 1 válvula, 5 juntas com K=1.\n- Entrada e saída em canto vivo (perdas locais adicionais).\n- Eficiência da bomba: \eta = 80\% = 0{,}80.\n\nO objetivo final: encontrar a potência de acionamento (potência no eixo/motor) necessária para vencer o desnível e todas as perdas hidráulicas.

Passo 2

Plano de solução (sem cálculos ainda). Para achar a potência do motor vamos:\n1) Calcular a velocidade média no tubo a partir de Q e D.\n2) Verificar o regime de escoamento usando o número de Reynolds e estimar o fator de atrito f pelo método apropriado (aqui usarei a fórmula explícita de Swamee–Jain, prática em provas).\n3) Calcular perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach): h_f = f \frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}.\n4) Somar perdas locais (peças e entradas/saídas): h_m = \left(\sum K\right)\frac{V^2}{2g}.\n5) Calcular altura geométrica total a ser vencida pela bomba: H = \Delta z + h_f + h_m.\n6) Calcular potência hidráulica: P_{h} = \rho g Q H.\n7) Obter potência no eixo (potência de acionamento) dividindo pela eficiência: P_{\text{motor}} = \frac{P_{h}}{\eta}.\n\nVou explicar cada fórmula e variável quando usá-las, sem pular etapas.

Passo 3

Área da seção e velocidade média.\nA área da seção interna do tubo é\n A = \frac{\pi D^2}{4}.\nSubstituindo D=0{,}075\\ \mathrm{m}:\n A = \frac{\pi (0{,}075)^2}{4} \approx 0{,}0044179\\ \mathrm{m}^2.\nA velocidade média é\n V = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}01}{0{,}0044179} \approx 2{,}263\\ \mathrm{m/s}.\nComentário rápido: V é a velocidade média do fluido na seção do tubo; com essa velocidade vamos calcular perdas que dependem de V^2.

Passo 4

Número de Reynolds e regime de escoamento.\nO número de Reynolds é\n \mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu},\nonde \nu é a viscosidade cinemática da água. Para água a temperatura ambiente (aprox. 20^\circ\mathrm{C}) uso \nu \approx 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. Então\n \mathrm{Re} = \frac{2{,}263\cdot 0{,}075}{1{,}0\times10^{-6}} \approx 169732.\nComo \mathrm{Re}\gg 4000, o escoamento é turbulento. Portanto devemos usar uma correlação para o fator de atrito em regime turbulento.

Passo 5

Estimativa do fator de atrito f (Swamee–Jain) e escolha da rugosidade.\nA equação de Swamee–Jain (fórmula explícita prática) é\n f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2},\nonde \varepsilon é a rugosidade absoluta do tubo. O enunciado não deu \varepsilon; tubulação de alumínio trefilado é bem lisa. Vou assumir uma rugosidade típica para tubo trefilado muito liso: \varepsilon \approx 1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}. (Aviso: esta é uma hipótese razoável — se na prova der outra rugosidade use essa para recalcular.)\n\nCalculemos os termos:\n \frac{\varepsilon}{3{,}7D} = \frac{1{,}5\times10^{-6}}{3{,}7\cdot 0{,}075} \approx 5{,}41\times10^{-6},\n \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{(1{,}6973\times10^{5})^{0{,}9}} \approx 1{,}13\times10^{-4}.\nAssim o argumento do log é \approx 1{,}18\times10^{-4} e\n f \approx 0{,}25\left[\log_{10}(1{,}18\times10^{-4})\right]^{-2} \approx 0{,}01621.\nBreve aula: f é adimensional e aparece na fórmula de perda por atrito; para tubos bem lisos em escoamento turbulento típico fica entre 0{,}01 e 0{,}03, então o valor encontrado é coerente.

Passo 6

Perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach).\nA fórmula é\n h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},\nonde g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2. Calculando cada termo:\n \frac{L}{D} = \frac{120}{0{,}075} = 1600,\n \frac{V^2}{2g} = \frac{(2{,}263)^2}{2\cdot 9{,}81} \approx 0{,}26117\\ \mathrm{m}.\nLogo\n h_f = 0{,}01621 \cdot 1600 \cdot 0{,}26117 \approx 6{,}77\\ \mathrm{m}.\nInterpretação: entre as perdas por atrito no trecho longo e o desnível, a perda por atrito não é desprezível.

Passo 7

Perdas locais (peças, juntas, válvula, entrada e saída) — escolha de K e justificativa.\nO enunciado deu explicitamente 5 juntas com K=1 (ou seja, cada uma tem K=1). Para os outros acessórios o enunciado não forneceu os K, então vou adotar valores típicos de tabela (comunmente usados em provas e projetos de ordem de grandeza):\n- Entrada em canto vivo (entrada afiada): K_{\text{entrada}} = 0{,}5.\n- Saída para reservatório (saída livre): \(K_{\text{saída}} = 1{,}0.\n- Cotovelo \(90^\circ (padrão): K_{90} = 0{,}3 (cada um).\n- Cotovelo 45^\circ: K_{45} = 0{,}2 (cada um).\n- Válvula (sem tipo especificado, adoto valor conservador moderado): K_{\text{válvula}} = 1{,}0.\n\nObs.: essas são escolhas razoáveis para estimativa. Se na sua prova houver uma tabela com valores de \(K, substitua por esses valores.\n\nSomando todos os K:\n \sum K = (2\cdot 0{,}3) + (4\cdot 0{,}2) + 1{,}0 + (5\cdot 1{,}0) + 0{,}5 + 1{,}0.\nCalculando:\n \sum K = 0{,}6 + 0{,}8 + 1{,}0 + 5{,}0 + 0{,}5 + 1{,}0 = 8{,}9.)

Passo 8

Perda de carga por locais (usar \sum K).\nA fórmula é\n h_m = \left(\sum K\right)\frac{V^2}{2g}.\nUsando \sum K = 8{,}9 e \dfrac{V^2}{2g} \approx 0{,}26117\\ \mathrm{m}:\n h_m = 8{,}9 \cdot 0{,}26117 \approx 2{,}32\\ \mathrm{m}.\nComentário: as 5 juntas com K=1 contribuem muito para as perdas locais; em projetos reais vale sempre verificar se essas juntas podem ser reduzidas.

Passo 9

Altura total a ser vencida e potência hidráulica.\nA altura total que a bomba deve fornecer é\n H = \Delta z + h_f + h_m = 40 + 6{,}77 + 2{,}32 \approx 49{,}09\\ \mathrm{m}.\nA potência hidráulica (energia por unidade de tempo entregue à água) é\n P_{h} = \rho g Q H,\ncom \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m}^3. Assim\n P_{h} = 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}01 \cdot 49{,}09 \approx 4{,}816\times 10^{3}\\ \mathrm{W} \approx 4{,}82\\ \mathrm{kW}.

Passo 10

Potência de acionamento (considerando eficiência da bomba).\nA potência no eixo (potência elétrica requerida ao motor, desconsiderando perdas elétricas) é\n P_{\text{motor}} = \frac{P_{h}}{\eta} = \frac{4816{,}1\\ \mathrm{W}}{0{,}80} \approx 6020{,}1\\ \mathrm{W} \approx 6{,}02\\ \mathrm{kW}.\nObservação final e incentivo: deu trabalho, né? Mas a ideia-prática é sempre a mesma: velocidade → Reynolds → fator de atrito → perdas de atrito e locais → altura total → potência. Se mudar algum dado (por ex. K das peças ou rugosidade), basta refazer os passos com os novos números — você já sabe como.

Resposta

P_{\text{motor}} \approx 6{,}02\\ \mathrm{kW}

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