Questao 1 (4 pontos) - Agua deve ser bombeada de um grande reservatorio mais baixo para outro grande reservatório 40 m acima do primeiro, ambos os reservatórios estão abertos para a atmosfera, a vazão é de 10 \mathrm{l} / \mathrm{s}. O bombeamento ocorre empregando uma tubulação de 120 m de comprimento total, com 75 mm de diâmetro interno de aluminio trefilado. O tubo é conectado aos tanques formando entrada e saída en canto vivo. A tubulação tem 2 cotovelos de 90^{\circ}, 4 de 45^{\circ}, uma válvula e 5 juntas de coeficiente de perda \mathrm{K}=1. A bomba empregada tem eficiência de 80 \%.
b) Apresente alternativas para reduzir a potência necessária, explicando porque a alternatuva reduziria a potência consumida.

Passo 1

O enunciado (trecho relevante para esta parte) pede: “b) Apresente alternativas para reduzir a potência necessária, explicando por que a alternativa reduziria a potência consumida.”
Dados do problema (vou listar tudo que foi dado e que influencia potencia da bomba):
  • Vazão: Q = 10\\ \mathrm{L/s} = 0{,}01\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Desnível entre reservatórios: \Delta z = 40\\ \mathrm{m}.
  • Tubulação: comprimento L = 120\\ \mathrm{m}, diâmetro interno D = 75\\ \mathrm{mm} = 0{,}075\\ \mathrm{m}, material alumínio trefilado.
  • Ligações: 2 cotovelos de 90^\circ, 4 cotovelos de 45^\circ, 1 válvula e 5 juntas com coeficiente de perda K=1 cada.
  • Entrada e saída em canto vivo (logo há perdas de entrada/saída).
  • Eficiência hidráulica da bomba: \eta = 80\%.
  • Fluido: água (assumo \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} e \nu \approx 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}).
    Observação: alguns coeficientes K (cotovelos, válvula) não são dados explicitamente em enunciado; vou usar valores típicos de tabela quando necessário e deixarei claro quando uma suposição é feita. Se fossem fornecidos valores diferentes, os números mudariam, mas os princípios e as alternativas seguem iguais.

Passo 2

Rápida aula (fundamentos que explicam por que a potência depende do que for alterado).
  1. Energia requerida pela bomba (potência hidráulica):
P_{h} = \rho g Q H,
onde
  • \rho é a densidade da água ( \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}),
  • H é a carga total que a bomba precisa vencer (em \mathrm{m}).
  1. Carga total H é soma de três termos:
H = \Delta z + h_f + h_m,
onde
  • \Delta z é o desnível geométrico entre reservatórios (aqui 40\\ \mathrm{m}),
  • h_f é a perda por atrito ao longo da tubulação (Darcy–Weisbach),
  • h_m é a soma das perdas singulares (junções, cotovelos, válvulas, entrada/saída) expressas como múltiplos da carga de velocidade.
  1. Perda por atrito (Darcy–Weisbach):
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde
  • f é o fator de atrito (sem unidade),
  • L é comprimento da tubulação ( \mathrm{m}),
  • D é diâmetro ( \mathrm{m}),
  • V é velocidade média do fluido na tubulação ( \mathrm{m/s}),
  • g é gravidade.
A velocidade V vem da equação de continuidade:
V = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^2}.
  1. Perdas singulares:
h_m = \left(\sum K_i\right)\frac{V^2}{2g},
onde cada K_i é o coeficiente de perda de um acessório (cotovelo, válvula, junta, entrada, saída, etc).
  1. Potência elétrica consumida pela bomba (considerando eficiência \eta):
P_{el} = \frac{P_h}{\eta} = \frac{\rho g Q H}{\eta}.
  1. Comportamento qualitativo importante (lei de afinidade aproximada para bombas e tubulações):
  • Quando se altera D, V muda como V\propto 1/D^2, e as perdas por atrito aproximadamente variam como h_f \propto V^2 \propto 1/D^4. Num desenvolvimento mais prático com h_f \propto \dfrac{L}{D}V^2, para vazão fixa e fator de atrito pouco variável, uma boa aproximação é h_f \propto 1/D^5. Ou seja, aumentar um pouco o diâmetro reduz fortemente h_f.
  • Se a carga está dominada pela altura fixa \Delta z, reduzir perdas de atrito e perdas singulares reduz H e, portanto, P_h e P_{el}.
  • Se reduzir a vazão Q, as perdas por atrito e singulares diminuem com Q^2, e a potência hidráulica cai aproximadamente como Q\cdot H(Q) (frequentemente próximo de Q^3 quando as perdas dinâmicas dominam). Logo reduzir vazão é muito eficaz para reduzir potência, mas pode não atender à demanda.

Passo 3

Cálculo do caso base (para termos uma referência numérica e ver o impacto das alternativas). Vou calcular H, P_h e P_{el} com as suposições típicas.
  1. Área e velocidade:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}075)^2}{4} \approx 0{,}0044179\\ \mathrm{m^2}.
V = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}01}{0{,}0044179} \approx 2{,}264\\ \mathrm{m/s}.
  1. Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{VD}{\nu} \approx \frac{2{,}264\times0{,}075}{1{,}0\times10^{-6}} \approx 1{,}70\times10^{5},
logo fluxo turbulento.
  1. Fator de atrito f: uso a fórmula explícita de Swamee–Jain (assumindo rugosidade interna \varepsilon \approx 1{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m} para tubo trefilado; isso é uma suposição típica para tubo bastante liso — se tiver outro valor, trocaríamos):
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Substituindo os números obtém-se aproximadamente
f \approx 0{,}0162.
  1. Perda por atrito:
h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g} \approx 0{,}0162\cdot\frac{120}{0{,}075}\cdot\frac{(2{,}264)^2}{2\cdot9{,}81} \approx 6{,}78\\ \mathrm{m}.
  1. Perdas singulares (vou somar coeficientes K típicos; tabelas comuns dão valores aproximados). Supondo:
  • cotovelo 90^\circ: K_{90}\approx 0{,}3 (cada),
  • cotovelo 45^\circ: K_{45}\approx 0{,}2 (cada),
  • válvula (dependendo do tipo; uso um valor conservador) K_{valv}\approx 1{,}0,
  • 5 juntas com K=1 cada (dado no enunciado) total 5,
  • entrada em canto vivo K_{ent}\approx 0{,}5,
  • saída para reservatório K_{sai}\approx 1{,}0.
Somando:
\sum K \approx 2\cdot0{,}3 + 4\cdot0{,}2 + 1{,}0 + 5\cdot1{,}0 + 0{,}5 + 1{,}0 = 8{,}9.
Portanto
h_m = \left(\sum K\right)\frac{V^2}{2g} \approx 8{,}9\cdot\frac{(2{,}264)^2}{2\cdot9{,}81} \approx 2{,}33\\ \mathrm{m}.
  1. Carga total:
H = \Delta z + h_f + h_m \approx 40 + 6{,}78 + 2{,}33 \approx 49{,}11\\ \mathrm{m}.
  1. Potência hidráulica e elétrica:
P_h = \rho g Q H \approx 1000\cdot9{,}81\cdot0{,}01\cdot49{,}11 \approx 4{,}818\\ \mathrm{kW}.
P_{el} = \frac{P_h}{\eta} \approx \frac{4{,}818}{0{,}8} \approx 6{,}02\\ \mathrm{kW}.
Conclusão numérica de referência: a bomba precisa entregar cerca de H\approx49{,}1\\ \mathrm{m}, potência hidráulica P_h\approx4{,}82\\ \mathrm{kW} e potência elétrica consumida \approx6{,}02\\ \mathrm{kW}, com as suposições de K e rugosidade anteriores.

Passo 4

Alternativa 1 — aumentar o diâmetro da tubulação (ex.: para D=100\\ \mathrm{mm}): por que funciona e quantificação.
Por que reduz potência:
  • Para mesma vazão Q, a velocidade V cai porque V\propto 1/D^2.
  • Perdas por atrito h_f caem fortemente com aumento de D (aprox. como 1/D^5 para uma estimativa prática quando f não varia muito).
  • Perdas singulares h_m também caem porque são proporcionais a V^2.
Estimativa numérica (substituindo D=0{,}10\\ \mathrm{m} e mantendo os mesmos K para comparabilidade):
  • Nova área A\approx0{,}007854\\ \mathrm{m^2}, V\approx1{,}273\\ \mathrm{m/s}.
  • Recalculando f (mesma rugosidade), obtém-se f\approx0{,}0171.
  • h_f \approx 1{,}70\\ \mathrm{m}.
  • h_m \approx \left(8{,}9\right)\cdot\frac{(1{,}273)^2}{2\cdot9{,}81}\approx0{,}735\\ \mathrm{m}.
  • H \approx 40 + 1{,}70 + 0{,}735 \approx 42{,}43\\ \mathrm{m}.
  • P_h \approx 1000\cdot9{,}81\cdot0{,}01\cdot42{,}43 \approx 4{,}164\\ \mathrm{kW}.
  • P_{el} \approx 4{,}164/0{,}8 \approx 5{,}21\\ \mathrm{kW}.
Ganho: redução da potência elétrica de cerca de 6{,}02\\ \mathrm{kW} para 5{,}21\\ \mathrm{kW} — uma economia \approx 0{,}82\\ \mathrm{kW} (≈13–14%). Comentário prático: trocar tubulação implica custo de material e mão-de-obra; geralmente é uma das medidas mais eficazes em sistemas novos ou quando se planeja reparos grandes.

Passo 5

Alternativa 2 — usar duas tubulações em paralelo (mesmo diâmetro atual), divisão de fluxo: por que funciona e estimativa.
Por que reduz potência:
  • Se a vazão total Q for dividida igualmente em duas linhas, a vazão por linha é Q/2, a velocidade por linha cai para metade e as perdas por atrito e singulares por linha caem com (Q/2)^2 = Q^2/4. A carga que a bomba vê é a mesma (elevatória), mas a soma das potências hidraulicas nas duas linhas (que é \rho g Q H) diminui porque H diminui com perdas reduzidas. Em geral para mesma tubulação total (duas em paralelo) obtém-se uma redução de perdas comparável à mudança para um tubo de diâmetro maior.
Estimativa rápida (assumindo duas linhas de D=0{,}075\\ \mathrm{m}):
  • Para cada linha Q/2 = 0{,}005\\ \mathrm{m^3/s} a velocidade é metade, então h_f e h_m por linha caem para cerca de 1/4 dos valores originais. Assim h_f \approx 6{,}78/4 \approx 1{,}70\\ \mathrm{m} e h_m \approx 2{,}33/4 \approx 0{,}58\\ \mathrm{m}.
  • Carga total aproximada H \approx 40 + 1{,}70 + 0{,}58 \approx 42{,}28\\ \mathrm{m}.
  • P_{el} \approx \frac{1000\cdot9{,}81\cdot0{,}01\cdot42{,}28}{0{,}8} \approx 5{,}18\\ \mathrm{kW}.
Resultado: similar em ordem de grandeza à opção de aumentar o diâmetro para 100\\ \mathrm{mm}. Trade-off prático: duas tubulações implicam custo de material e espaço, além de maiores necessidades de acomodações; pode ser viável em projetos novos.

Passo 6

Alternativa 3 — reduzir perdas singulares (melhorar junta/cotovelo/válvula): por que funciona e expectativa.
O que fazer:
  • Substituir juntas com K=1 por juntas soldadas ou com juntas de baixa perda;
  • Substituir cotovelos de raio curto por cotovelos de raio longo (long-radius) que têm K menores;
  • Usar válvulas de menor perda (por exemplo válvula gaveta bem aberta em vez de válvula globo) ou posicioná-la fora do trecho principal.
Por que reduz potência:
  • h_m = (\sum K)\,V^2/(2g). Reduzindo \sum K, reduz-se h_m proporcionalmente; isso reduz H e, portanto, P_h.
Quantificação (exemplo): se as 5 juntas K=1 forem eliminadas (soldagem), reduz-se \sum K de 8{,}9 para 3{,}9, então h_m passa de 2{,}33\\ \mathrm{m} para \approx1{,}02\\ \mathrm{m}. Recalculando:
H \approx 40 + 6{,}78 + 1{,}02 \approx 47{,}80\\ \mathrm{m},
P_{el} \approx \frac{1000\cdot9{,}81\cdot0{,}01\cdot47{,}80}{0{,}8} \approx 5{,}86\\ \mathrm{kW}.
Economia modesta (≈0,16 kW) comparada às trocas de tubulação. Mesmo assim, é uma medida de baixo custo relativo (soldagem vs. troca de tubo) e com manutenção reduzida — geralmente recomendada onde possível.

Passo 7

Alternativa 4 — reduzir a vazão efetiva com controle (inversor de frequência / VSD ou operação variável): por que funciona e exemplo.
Por que reduz potência:
  • Perdas dinâmicas (atrito e singulares) escalam com Q^2.
  • Potência hidráulica P_h = \rho g Q(\Delta z + a Q^2) (onde a representa o fator que traz os termos dinâmicos), ou seja, em regimes dominados por perdas dinâmicas, P_{h}\propto Q^3. Assim pequenas reduções de Q trazem grandes reduções de potência.
Exemplo numérico: reduzir Q em 20\% para Q=8\\ \mathrm{L/s}=0{,}008\\ \mathrm{m^3/s}:
  • Recalculando (mantendo tubulação original): obtemos H \approx 46{,}03\\ \mathrm{m} (cálculo mostrado nos passos de rascunho) e
P_{el} \approx \frac{1000\cdot9{,}81\cdot0{,}008\cdot46{,}03}{0{,}8} \approx 4{,}52\\ \mathrm{kW}.
Comparado aos 6{,}02\\ \mathrm{kW} originais, é uma economia de cerca de 1{,}5\\ \mathrm{kW} (≈25%). Observação: reduzir vazão pode não atender à demanda do sistema — mas se a vazão puder variar de acordo com necessidade, o VSD é uma das medidas mais eficazes energeticamente.

Passo 8

Alternativa 5 — escolher bomba e motor com maior eficiência / operar perto do ponto de melhor eficiência.
Por que reduz potência elétrica:
  • Se a bomba tem eficiência maior \eta, então P_{el} = P_h/\eta diminui. Por exemplo, se for possível usar uma bomba com \eta = 90\% em vez de 80\%, mantendo P_h igual:
P_{el,new} = \frac{P_h}{0{,}9} \quad\text{vs}\quad P_{el,old} = \frac{P_h}{0{,}8}.
Usando P_h\approx4{,}818\\ \mathrm{kW}, temos P_{el,new}\approx5{,}35\\ \mathrm{kW} contra 6{,}02\\ \mathrm{kW} — economia ≈ 0{,}67\\ \mathrm{kW} (≈11%). Além disso, garantir que a bomba opere próximo ao ponto de rendimento máximo (BEP) prolonga vida e evita consumo excessivo.

Passo 9

Outras medidas práticas e notas (sem grandes cálculos):
  • Forrar a tubulação internamente ou usar material mais liso (PVC, PE) reduz rugosidade \varepsilon e portanto reduz f e h_f. Impacto moderado se a tubulação atual já for lisa.
  • Evitar trajetos tortuosos e diminuir o comprimento L sempre que possível (por exemplo, posicionar a bomba e tubulação de forma mais direta) reduz h_f\propto L.
  • Minimizar o número de válvulas/peças ou usar componentes de baixa perda.
  • Evitar válvulas parcialmente fechadas para controlar vazão (isso aumenta perdas e não reduz a potência eficientemente). Em vez disso, variar a velocidade da bomba (VSD) é mais eficiente.
  • Manutenção: incrustações internas aumentam perdas com o tempo; limpeza e tratamento reduzem consumo.
  • Em alguns casos, aumentar a pressão do reservatório superior (ou usar tanques de armazenamento intermitente) pode permitir bombear em horários de menor custo ou operar em regimes diferentes.

Passo 10

Recomendação prática (prioridade custo-benefício):
  1. Se for possível operar com vazão menor quando apropriado: instalar VSD — geralmente a melhor relação custo/benefício para economia energética contínua.
  2. Verificar se a bomba atual está dimensionada e opera perto do BEP; trocar por bomba de maior eficiência se estiver fora de faixa. Isso traz ganho direto na energia elétrica.
  3. Para obras/renovações: aumentar diâmetro da tubulação (ou instalar tubulações em paralelo) é muito eficaz para reduzir perdas e potência, apesar do custo inicial.
  4. Medidas de baixo custo: soldar juntas ou usar juntas de menor perda, trocar cotovelos por raio longo, usar válvulas de baixa perda e manter limpeza interna. Essas reduzem perdas singulares e atrito sem grande investimento.

Resposta

Aumentar o diâmetro da tubulação (ex.: para 100\\ \mathrm{mm}), reduzindo velocidade e perdas de atrito — reduz a potência elétrica estimada de \approx6{,}02\\ \mathrm{kW} para \approx5{,}21\\ \mathrm{kW}.
Instalar tubulações em paralelo (duas linhas de 75\\ \mathrm{mm}) — efeito similar ao aumento de diâmetro, potência elétrica estimada \approx5{,}18\\ \mathrm{kW}.
Instalar inversor de frequência (VSD) para reduzir a vazão quando possível (ex.: Q reduzido em 20\%) — reduz potência elétrica substancialmente para \approx4{,}52\\ \mathrm{kW} (≈25% de economia), desde que a vazão menor atenda à demanda.
Reduzir perdas singulares (soldar juntas, usar cotovelos de raio longo, válvulas de baixa perda) — reduz h_m e traz economia modesta, costuma ser medida de baixo custo e indicada.
Trocar por bomba/ motor de maior eficiência ou garantir operação próxima ao BEP — aumenta \eta (ex.: de 80\% para 90\%) e reduz consumo elétrico (~11% neste exemplo).

Exercícios relacionados