Questão 2 (5 pontos): A agulha de um toca-discos se desloca ao longo do sulco de um disco de vinil cuja geometria pode ser modelada aproximadamente por uma espiral de Arquimedes, dada pela equaçăo em coordenadas polares:
. Determine:
a) Os vetores velocidade e aceleração (e seus módulos) da ponta da agulha em termos de a, b e
e
.
Passo 1
O enunciado dá a curva seguida pela ponta da agulha em coordenadas polares pela equação
onde
e
são constantes e
é a coordenada angular dependente do tempo. A ponta da agulha tem movimento ao longo dessa espiral quando
varia com o tempo. O problema pede explicitamente:
- O vetor velocidade
da ponta (em função de ); - O vetor aceleração
da ponta (em função de ); - Os módulos (normas)
e .
Informações relevantes que usaremos:
- A posição em coordenadas polares é
com . - A variável
é função do tempo, logo e aparecem nas derivadas temporais.
A resolução real começa no próximo passo.
Passo 2
Lembrando (e derivando) as propriedades das bases polares: as versores unitários dependem de
. Em componentes cartesianas:
Derivando em relação ao tempo, usando regra da cadeia (
):
Estas fórmulas dizem que a base gira com velocidade angular
; vou usá-las diretamente nas derivadas temporais dos vetores.
Passo 3
Calcular derivadas de
em função de
. Como
,
Expliquei: derivada de
é zero, de
é
, e de novo para
.
Passo 4
Determinar o vetor velocidade. A posição é
. Aplicando derivada temporal (produto):
Substituindo
e
e
obtemos
Podemos fatorar
:
Agora o módulo. Como
e
são ortogonais e de módulo unitário,
Observação: o valor absoluto em
garante que o módulo seja não negativo; frequentemente escreve-se sem o módulo se assumir
.
Passo 5
Determinar o vetor aceleração. Parto da expressão geral em coordenadas polares ou derivo a partir de
. Usando a fórmula que surge da diferenciação (mostro os passos):
Derivando em tempo e aplicando produto e as derivadas dos versores:
Agrupando termos e substituindo
e
obtém-se a forma canónica:
Agora substituo
,
e
:
Interpretação rápida (sem detalhes técnicos): o termo
é a componente centrípeta (aponta radialmente para dentro quando
); o termo
na componente azimutal aparece porque o raio muda com o tempo (efeito análogo a termo de “Coriolis” nas coordenadas).
Passo 6
Cálculo do módulo da aceleração. Como
e
são ortogonais,
Essa é a expressão geral em termos de
.
Passo 7
Casos simples para fixar a intuição (exemplos curtos):
- Se
é constante ( ), então
Aqui a componente radial é puramente centrípeta negativa e há uma componente azimutal
por causa da mudança radial devido à espiral.
- Se
(caso trivial: círculo de raio constante ), recupera-se as fórmulas clássicas de movimento circular: