Questão 2 (5 pontos): A agulha de um toca-discos se desloca ao longo do sulco de um disco de vinil cuja geometria pode ser modelada aproximadamente por uma espiral de Arquimedes, dada pela equaçăo em coordenadas polares: r=a+b \theta. Determine:
a) Os vetores velocidade e aceleração (e seus módulos) da ponta da agulha em termos de a, b e \theta, \dot{\theta} e \ddot{\theta}.

Passo 1

O enunciado dá a curva seguida pela ponta da agulha em coordenadas polares pela equação
r = a + b\theta,
onde a e b são constantes e \theta=\theta(t) é a coordenada angular dependente do tempo. A ponta da agulha tem movimento ao longo dessa espiral quando \theta varia com o tempo. O problema pede explicitamente:
  • O vetor velocidade \vec{v} da ponta (em função de a,b,\theta,\dot\theta,\ddot\theta);
  • O vetor aceleração \vec{a} da ponta (em função de a,b,\theta,\dot\theta,\ddot\theta);
  • Os módulos (normas) \|\vec{v}\| e \|\vec{a}\|.
Informações relevantes que usaremos:
  • A posição em coordenadas polares é \vec{r}=r\,\hat{\mathbf{e}}_r com r=a+b\theta.
  • A variável \theta é função do tempo, logo \dot\theta e \ddot\theta aparecem nas derivadas temporais.
    A resolução real começa no próximo passo.

Passo 2

Lembrando (e derivando) as propriedades das bases polares: as versores unitários dependem de \theta. Em componentes cartesianas:
\hat{\mathbf{e}}_r=(\cos\theta,\sin\theta),\qquad \hat{\mathbf{e}}_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta).
Derivando em relação ao tempo, usando regra da cadeia ( d\theta/dt=\dot\theta):
\frac{d}{dt}\hat{\mathbf{e}}_r=\dot\theta\,\hat{\mathbf{e}}_\theta, \qquad \frac{d}{dt}\hat{\mathbf{e}}_\theta=-\dot\theta\,\hat{\mathbf{e}}_r.
Estas fórmulas dizem que a base gira com velocidade angular \dot\theta; vou usá-las diretamente nas derivadas temporais dos vetores.

Passo 3

Calcular derivadas de r em função de \theta(t). Como r=a+b\theta,
\dot r=\frac{dr}{dt}=b\,\dot\theta, \qquad \ddot r=\frac{d^2 r}{dt^2}=b\,\ddot\theta.
Expliquei: derivada de a é zero, de b\theta é b\dot\theta, e de novo para \ddot r.

Passo 4

Determinar o vetor velocidade. A posição é \vec{r}=r\,\hat{\mathbf{e}}_r. Aplicando derivada temporal (produto):
\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\dot r\,\hat{\mathbf{e}}_r + r\,\frac{d}{dt}\hat{\mathbf{e}}_r.
Substituindo \dfrac{d}{dt}\hat{\mathbf{e}}_r=\dot\theta\,\hat{\mathbf{e}}_\theta e \dot r=b\dot\theta e r=a+b\theta obtemos
\vec{v}=b\dot\theta\,\hat{\mathbf{e}}_r+(a+b\theta)\dot\theta\,\hat{\mathbf{e}}_\theta.
Podemos fatorar \dot\theta:
\vec{v}=\dot\theta\bigl(b\,\hat{\mathbf{e}}_r+(a+b\theta)\,\hat{\mathbf{e}}_\theta\bigr).
Agora o módulo. Como \hat{\mathbf{e}}_r e \hat{\mathbf{e}}_\theta são ortogonais e de módulo unitário,
\|\vec{v}\|=\sqrt{(b\dot\theta)^2+((a+b\theta)\dot\theta)^2} =\;|\dot\theta|\sqrt{b^2+(a+b\theta)^2}.
Observação: o valor absoluto em |\dot\theta| garante que o módulo seja não negativo; frequentemente escreve-se sem o módulo se assumir \dot\theta\ge0.

Passo 5

Determinar o vetor aceleração. Parto da expressão geral em coordenadas polares ou derivo a partir de \vec{v}. Usando a fórmula que surge da diferenciação (mostro os passos):
\vec{v}=\dot r\,\hat{\mathbf{e}}_r + r\dot\theta\,\hat{\mathbf{e}}_\theta.
Derivando em tempo e aplicando produto e as derivadas dos versores:
\vec{a}=\ddot r\,\hat{\mathbf{e}}_r+\dot r\,\frac{d}{dt}\hat{\mathbf{e}}_r +\dot r\dot\theta\,\hat{\mathbf{e}}_\theta + r\ddot\theta\,\hat{\mathbf{e}}_\theta + r\dot\theta\,\frac{d}{dt}\hat{\mathbf{e}}_\theta.
Agrupando termos e substituindo \dfrac{d}{dt}\hat{\mathbf{e}}_r=\dot\theta\hat{\mathbf{e}}_\theta e \dfrac{d}{dt}\hat{\mathbf{e}}_\theta=-\dot\theta\hat{\mathbf{e}}_r obtém-se a forma canónica:
\vec{a}=(\ddot r-r\dot\theta^2)\,\hat{\mathbf{e}}_r + (r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\,\hat{\mathbf{e}}_\theta.
Agora substituo \dot r=b\dot\theta, \ddot r=b\ddot\theta e r=a+b\theta:
\vec{a}=\bigl(b\ddot\theta-(a+b\theta)\dot\theta^2\bigr)\,\hat{\mathbf{e}}_r +\bigl((a+b\theta)\ddot\theta+2b\dot\theta^2\bigr)\,\hat{\mathbf{e}}_\theta.
Interpretação rápida (sem detalhes técnicos): o termo -(a+b\theta)\dot\theta^2 é a componente centrípeta (aponta radialmente para dentro quando \dot\theta\neq0); o termo 2b\dot\theta^2 na componente azimutal aparece porque o raio muda com o tempo (efeito análogo a termo de “Coriolis” nas coordenadas).

Passo 6

Cálculo do módulo da aceleração. Como \hat{\mathbf{e}}_r e \hat{\mathbf{e}}_\theta são ortogonais,
\|\vec{a}\| =\sqrt{\bigl(b\ddot\theta-(a+b\theta)\dot\theta^2\bigr)^2 +\bigl((a+b\theta)\ddot\theta+2b\dot\theta^2\bigr)^2 }.
Essa é a expressão geral em termos de a,b,\theta,\dot\theta,\ddot\theta.

Passo 7

Casos simples para fixar a intuição (exemplos curtos):
  • Se \dot\theta é constante ( \ddot\theta=0), então
\vec{v}= \dot\theta\bigl(b\,\hat{\mathbf{e}}_r+(a+b\theta)\,\hat{\mathbf{e}}_\theta\bigr), \qquad \vec{a}=-(a+b\theta)\dot\theta^2\,\hat{\mathbf{e}}_r + 2b\dot\theta^2\,\hat{\mathbf{e}}_\theta.
Aqui a componente radial é puramente centrípeta negativa e há uma componente azimutal 2b\dot\theta^2 por causa da mudança radial devido à espiral.
  • Se b=0 (caso trivial: círculo de raio constante r=a), recupera-se as fórmulas clássicas de movimento circular:
\vec{v}=a\dot\theta\,\hat{\mathbf{e}}_\theta,\qquad \vec{a}=-a\dot\theta^2\,\hat{\mathbf{e}}_r + a\ddot\theta\,\hat{\mathbf{e}}_\theta.

Resposta

\vec{v}=b\dot\theta\,\hat{\mathbf{e}}_r+(a+b\theta)\dot\theta\,\hat{\mathbf{e}}_\theta
\|\vec{v}\|=|\dot\theta|\sqrt{b^2+(a+b\theta)^2}
\vec{a}=\bigl(b\ddot\theta-(a+b\theta)\dot\theta^2\bigr)\,\hat{\mathbf{e}}_r +\bigl((a+b\theta)\ddot\theta+2b\dot\theta^2\bigr)\,\hat{\mathbf{e}}_\theta
\|\vec{a}\|=\sqrt{\bigl(b\ddot\theta-(a+b\theta)\dot\theta^2\bigr)^2 +\bigl((a+b\theta)\ddot\theta+2b\dot\theta^2\bigr)^2 }

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