Questão 1 (5 pontos): Satélites de comunicação são colocados em uma órbita geossíncrona, isto é, em uma órbita circular tal que eles realizem uma volta completa em torno de Marte em um dia sideral (24,618 horas) e, então aparentam estar estacionários em relação ao solo. Determine:
a) a altitude desses satélites

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede-se a altitude dos satélites geossíncronos em torno de Marte (altitude acima da superfície de Marte).
  • Informação do enunciado: período sideral do dia marciano T_{\text{dia}} = 24,618 horas.
  • Para calcular a altitude precisamos também de constantes físicas que não foram dadas explicitamente; vou usar os valores padrão:
    • Constante gravitacional: G = 6,67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
    • Massa de Marte: M = 6,4171\times10^{23}\\ \mathrm{kg}.
    • Raio médio de Marte: R_{M} = 3,3895\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Síntese do objetivo: Encontrar o raio orbital r a partir do centro de Marte que dá período T igual ao dia sideral, e então calcular a altitude h = r - R_{M}.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (passo-a-passo e didático):
  • Um satélite em órbita circular sofre força gravitacional que fornece a aceleração centrípeta necessária. Igualando as duas expressões: \frac{G M m}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}.Aqui:
    • G é a constante gravitacional;
    • M é a massa do planeta (Marte);
    • m é a massa do satélite (cancela-se);
    • r é o raio da órbita (distância do centro de Marte ao satélite);
    • v é a velocidade orbital.
  • A velocidade orbital para um movimento circular com período T é v = \dfrac{2\pi r}{T}. Substituindo e simplificando obtemos a forma útil: G M = \frac{4\pi^{2} r^{3}}{T^{2}}.
  • Desse resultado isolamos r^{3}: r^{3} = \frac{G M\, T^{2}}{4\pi^{2}}.
  • Após obter r por raiz cúbica, a altitude pedida é h = r - R_{M}.

Passo 3

Converter o período dado para segundos (porque G e M estão em unidades SI):
  • O período T é igual ao dia sideral fornecido: T = 24{,}618\\ \text{horas}.
  • Converter horas para segundos: 1\\ \text{h} = 3600\\ \text{s}. Logo T = 24{,}618 \times 3600 = 88624{,}8\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular o produto G M (frequentemente chamado de parâmetro gravitacional \mu):
  • Usando os valores adotados: \mu \equiv G M = (6{,}67430\times10^{-11})(6{,}4171\times10^{23}) \approx 4{,}282837\times10^{13}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}.(Valor padrão conhecido: \mu_{\text{Marte}}\approx4{,}282837\times10^{13}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}.)

Passo 5

Calcular T^{2} e montar r^{3}:
  • Primeiro T^{2}: T^{2} = (88624{,}8)^{2} \approx 7{,}854355175\times10^{9}\\ \mathrm{s^{2}}.
  • Agora substituir em r^{3} = \frac{\mu\, T^{2}}{4\pi^{2}}.Substituindo os números: r^{3} \approx \frac{(4{,}282837\times10^{13})(7{,}854355175\times10^{9})}{4\pi^{2}}.
  • Calculemos passo a passo (valores aproximados): \mu\,T^{2} \approx 3{,}363892\times10^{23}e 4\pi^{2} \approx 39{,}4784176.Portanto r^{3} \approx \frac{3{,}363892\times10^{23}}{39{,}4784176} \approx 8{,}5186\times10^{21}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 6

Extrair a raiz cúbica para obter r:
  • Fazer a raiz cúbica por separação da potência de 10: r = \bigl(8{,}5186\times10^{21}\bigr)^{1/3} = (8{,}5186)^{1/3}\times10^{7}.
  • Calculando a raiz cúbica de 8{,}5186 (aproximadamente 2{,}042), obtemos: r \approx 2{,}042\times10^{7}\\ \mathrm{m} = 2,042\times10^{7}\\ \mathrm{m}.Em unidades mais familiares: r \approx 20\,420\\ \mathrm{km}.

Passo 7

Calcular a altitude acima da superfície de Marte:
  • Usando h = r - R_{M} com R_{M}=3{,}3895\times10^{6}\\ \mathrm{m}: h \approx 2{,}042\times10^{7} - 3{,}3895\times10^{6} = 1{,}70305\times10^{7}\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para quilômetros: h \approx 17\,030\\ \mathrm{km}.

Passo 8

Resumo pedagógico e verificação rápida:
  • Resultado faz sentido físico: para Marte, com menor massa que a Terra e período quase igual ao dia terrestre, a órbita geossíncrona fica mais próxima do planeta que a órbita geoestacionária da Terra (que está a ~35 786 km). Aqui encontramos ~17 030 km acima da superfície de Marte.
  • Temos as unidades corretas (metros e quilômetros) e usamos a fórmula clássica derivada de igualar força gravitacional e força centrípeta.

Resposta

h \approx 1{,}70305\times10^{7}\\ \mathrm{m} \approx 17\,030\\ \mathrm{km}

Exercícios relacionados