Questão 5 (6 pontos) Uma das aplicações de derivadas é resolver problemas de otimização. Para isso, deve-se modelar uma função que descreva o problema, indicando a lei de formação e o domínio dela. Em seguida, os pontos críticos são calculados. Dentre eles, busca-se o ponto que otimiza o problema. Com essas informações, resolva o seguinte problema:
Deseja-se construir uma caixa retangular de base quadrada sem tampa que tenha volume igual a 108 c m^{3}. Determine as dimensões para que a área total da caixa (incluindo a base e as laterais) seja a menor possível.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
O enunciado diz que se quer construir uma caixa retangular sem tampa e com base quadrada.
O volume da caixa deve ser igual a 108\\ \text{cm}^3.
A área total que conta para o problema é a área da base mais a área das quatro faces laterais (a tampa não existe).
O que é pedido: determinar as dimensões da caixa (lado da base e altura) de modo que a área total seja a menor possível.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Volume: V=108\\ \text{cm}^3.
Caixa com base quadrada → duas dimensões importantes: lado da base e altura (definiremos no próximo passo).
Passo 2
Escolher variáveis e modelar o problema.
Seja x o comprimento do lado da base quadrada, em \text{cm}. Então a base tem área x^2.
Seja h a altura da caixa, em \text{cm}.
O volume de uma caixa retangular é base vezes altura. Como a base é quadrada:
V = x^2 h.
Pelo enunciado sabemos que
x^2 h = 108.
A área total da caixa (sem tampa) é a área da base mais a área das quatro faces laterais:
Explicando: cada lateral é um retângulo de base x e altura h, então sua área é x h; somando quatro temos 4xh.
Nosso objetivo é minimizar a função A sujeita à restrição x^2 h = 108.
Passo 3
Reduzir para uma única variável usando a restrição (porque é mais fácil minimizar uma função de uma variável).
Da restrição temos:
x^2 h = 108 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{108}{x^2}.
Substituindo em A:
A(x) = x^2 + 4x\cdot\frac{108}{x^2}.
Agora simplificamos o segundo termo:
4x\cdot\frac{108}{x^2} = \frac{432}{x}.
Portanto a função área em termos de x é
A(x) = x^2 + \frac{432}{x}.
Observação: a unidade de A(x) é \text{cm}^2.
Passo 4
Determinar o domínio de A(x) e interpretar fisicamente.
Como x é o comprimento do lado da base, necessariamente x>0.
Logo o domínio natural para nossa função é x\in(0,\infty).
Comentário rápido de entendimento: para x muito pequeno a parcela \tfrac{432}{x} explode para +\infty; para x muito grande o termo x^2 domina e também vai para +\infty. Esperamos, portanto, que exista um mínimo em algum ponto intermediário.
Passo 5
Explicar a ferramenta matemática que vamos usar (derivada e condição de extremo) e aplicar: regra de derivação.
Ideia: para encontrar pontos onde A(x) tem mínimo ou máximo, buscamos pontos críticos onde a derivada A'(x) é zero (essas são as posições onde a curva tem inclinação horizontal).
Regras que vou usar:
Regra do poder: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr)=n x^{\,n-1}.
Derivada do primeiro termo: \dfrac{d}{dx}(x^2)=2x.
Derivada do segundo termo: \dfrac{d}{dx}\bigl(432x^{-1}\bigr)=432\cdot(-1)x^{-2}=-\dfrac{432}{x^2}.
Portanto
A'(x)=2x-\frac{432}{x^2}.
Passo 6
Encontrar os pontos críticos resolvendo A'(x)=0.
Colocando a derivada igual a zero:
2x-\frac{432}{x^2}=0.
Isolamos:
2x = \frac{432}{x^2}.
Multiplicando ambos os lados por x^2 (válido porque x>0):
2x^3 = 432.
Dividindo por 2:
x^3 = 216.
Extraindo a raiz cúbica:
x = \sqrt[3]{216} = 6.
Como x>0, este é o único ponto crítico relevante no domínio.
Passo 7
Verificar se o ponto crítico corresponde a um mínimo (teste da segunda derivada e argumento de mínimo global).
Primeiro calculemos a segunda derivada. Derivando A'(x)=2x-432x^{-2}:
Derivada de 2x é 2.
Derivada de -432x^{-2} é -432)\cdot(-2)x^{-3}=864 x^{-3}.
Logo
A''(x) = 2 + \frac{864}{x^3}.
Avalia em x=6:
A''(6)=2+\frac{864}{6^3}=2+\frac{864}{216}=2+4=6.
Como A''(6)>0, pela segunda derivada isso indica que A tem um mínimo local em x=6.
Agora argumento de mínimo global: conforme observado antes, \lim_{x\to0^+}A(x)=+\infty e \lim_{x\to\infty}A(x)=+\infty. Como existe apenas um ponto crítico no domínio e ele é um mínimo local, este é também o mínimo absoluto (global) da função A em (0,\infty).
Passo 8
Determinar a altura h correspondente ao x encontrado usando a restrição do volume.
Usando h=\dfrac{108}{x^2} e substituindo x=6:
h=\frac{108}{6^2}=\frac{108}{36}=3.
Portanto a altura é 3\\ \text{cm}.
Passo 9
Resumo e cálculo opcional da área mínima (verificação numérica).