Questão 5 (6 pontos) Uma das aplicações de derivadas é resolver problemas de otimização. Para isso, deve-se modelar uma função que descreva o problema, indicando a lei de formação e o domínio dela. Em seguida, os pontos críticos são calculados. Dentre eles, busca-se o ponto que otimiza o problema. Com essas informações, resolva o seguinte problema:
Deseja-se construir uma caixa retangular de base quadrada sem tampa que tenha volume igual a 108 c m^{3}. Determine as dimensões para que a área total da caixa (incluindo a base e as laterais) seja a menor possível.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
  • O enunciado diz que se quer construir uma caixa retangular sem tampa e com base quadrada.
  • O volume da caixa deve ser igual a 108\\ \text{cm}^3.
  • A área total que conta para o problema é a área da base mais a área das quatro faces laterais (a tampa não existe).
  • O que é pedido: determinar as dimensões da caixa (lado da base e altura) de modo que a área total seja a menor possível.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Volume: V=108\\ \text{cm}^3.
  • Caixa com base quadrada → duas dimensões importantes: lado da base e altura (definiremos no próximo passo).

Passo 2

Escolher variáveis e modelar o problema.
  • Seja x o comprimento do lado da base quadrada, em \text{cm}. Então a base tem área x^2.
  • Seja h a altura da caixa, em \text{cm}.
  • O volume de uma caixa retangular é base vezes altura. Como a base é quadrada:
V = x^2 h.
Pelo enunciado sabemos que
x^2 h = 108.
  • A área total da caixa (sem tampa) é a área da base mais a área das quatro faces laterais:
A = \text{(base)} + \text{(4 laterais)} = x^2 + 4(x\cdot h).
Explicando: cada lateral é um retângulo de base x e altura h, então sua área é x h; somando quatro temos 4xh.
Nosso objetivo é minimizar a função A sujeita à restrição x^2 h = 108.

Passo 3

Reduzir para uma única variável usando a restrição (porque é mais fácil minimizar uma função de uma variável).
Da restrição temos:
x^2 h = 108 \quad\Rightarrow\quad h = \frac{108}{x^2}.
Substituindo em A:
A(x) = x^2 + 4x\cdot\frac{108}{x^2}.
Agora simplificamos o segundo termo:
4x\cdot\frac{108}{x^2} = \frac{432}{x}.
Portanto a função área em termos de x é
A(x) = x^2 + \frac{432}{x}.
Observação: a unidade de A(x) é \text{cm}^2.

Passo 4

Determinar o domínio de A(x) e interpretar fisicamente.
  • Como x é o comprimento do lado da base, necessariamente x>0.
  • Logo o domínio natural para nossa função é x\in(0,\infty).
Comentário rápido de entendimento: para x muito pequeno a parcela \tfrac{432}{x} explode para +\infty; para x muito grande o termo x^2 domina e também vai para +\infty. Esperamos, portanto, que exista um mínimo em algum ponto intermediário.

Passo 5

Explicar a ferramenta matemática que vamos usar (derivada e condição de extremo) e aplicar: regra de derivação.
  • Ideia: para encontrar pontos onde A(x) tem mínimo ou máximo, buscamos pontos críticos onde a derivada A'(x) é zero (essas são as posições onde a curva tem inclinação horizontal).
  • Regras que vou usar:
    • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^n\bigr)=n x^{\,n-1}.
    • Constante multiplicativa: \dfrac{d}{dx}\bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot f'(x).
    • Para x^{-1} a derivada é -1\cdot x^{-2}.
Agora derivamos A(x)=x^2+432x^{-1}.
  • Derivada do primeiro termo: \dfrac{d}{dx}(x^2)=2x.
  • Derivada do segundo termo: \dfrac{d}{dx}\bigl(432x^{-1}\bigr)=432\cdot(-1)x^{-2}=-\dfrac{432}{x^2}.
Portanto
A'(x)=2x-\frac{432}{x^2}.

Passo 6

Encontrar os pontos críticos resolvendo A'(x)=0.
Colocando a derivada igual a zero:
2x-\frac{432}{x^2}=0.
Isolamos:
2x = \frac{432}{x^2}.
Multiplicando ambos os lados por x^2 (válido porque x>0):
2x^3 = 432.
Dividindo por 2:
x^3 = 216.
Extraindo a raiz cúbica:
x = \sqrt[3]{216} = 6.
Como x>0, este é o único ponto crítico relevante no domínio.

Passo 7

Verificar se o ponto crítico corresponde a um mínimo (teste da segunda derivada e argumento de mínimo global).
Primeiro calculemos a segunda derivada. Derivando A'(x)=2x-432x^{-2}:
  • Derivada de 2x é 2.
  • Derivada de -432x^{-2} é -432)\cdot(-2)x^{-3}=864 x^{-3}.
Logo
A''(x) = 2 + \frac{864}{x^3}.
Avalia em x=6:
A''(6)=2+\frac{864}{6^3}=2+\frac{864}{216}=2+4=6.
Como A''(6)>0, pela segunda derivada isso indica que A tem um mínimo local em x=6.
Agora argumento de mínimo global: conforme observado antes, \lim_{x\to0^+}A(x)=+\infty e \lim_{x\to\infty}A(x)=+\infty. Como existe apenas um ponto crítico no domínio e ele é um mínimo local, este é também o mínimo absoluto (global) da função A em (0,\infty).

Passo 8

Determinar a altura h correspondente ao x encontrado usando a restrição do volume.
Usando h=\dfrac{108}{x^2} e substituindo x=6:
h=\frac{108}{6^2}=\frac{108}{36}=3.
Portanto a altura é 3\\ \text{cm}.

Passo 9

Resumo e cálculo opcional da área mínima (verificação numérica).
  • Lado da base: x=6\\ \text{cm}.
  • Altura: h=3\\ \text{cm}.
Se quisermos calcular a área mínima:
A_{\min}=x^2+\frac{432}{x}\Big|_{x=6}=6^2+\frac{432}{6}=36+72=108\\ \text{cm}^2.
Isto confirma que os números fazem sentido (volume 108\\ \text{cm}^3 e área mínima 108\\ \text{cm}^2).

Resposta

\text{lado da base} = 6\\ \text{cm}
\text{altura} = 3\\ \text{cm}

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