Questão 3 (5 pontos) Uma escada de 10 m de comprimento está apoiada contra uma parede. A base da escada começa a deslizar para longe da parede a uma taxa de
. A que taxa o topo da escada está descendo no momento em que a base da escada está a 6 m da parede?
Passo 1
O enunciado pede: determinar a que taxa o topo da escada está descendo (ou seja, a velocidade vertical do topo) no instante em que a base está a
da parede. Informações dadas:
- Comprimento da escada (constante):
. - A base afasta-se da parede com taxa
(peguei isto do enunciado). - No instante considerado:
(distância da base à parede).
O que precisamos encontrar éno instante em que , onde é a altura do topo da escada na parede. Vou definir as variáveis claramente: -
: distância horizontal da base ao pé da parede (em metros). -
: altura do topo da escada na parede (em metros). -
: tempo (em segundos).
Unidade final pedida: metros por segundo () e o sinal negativo indica que o topo está descendo.
Passo 2
Relação geométrica entre
,
e o comprimento fixo da escada vem do teorema de Pitágoras:
Explicando: a escada forma um triângulo retângulo com a parede e o chão; o comprimento da escada é a hipotenusa fixa
. Essa equação vale para qualquer instante
.
Passo 3
Vamos diferenciar a relação em relação ao tempo
. Justificativa:
e
variam com o tempo, então derivamos cada termo usando a regra da cadeia. Derivando ambos os lados de
em relação a
obtemos:
Pela regra da cadeia,
e
. O lado direito é zero porque
é constante. Então:
Passo 4
Isolamos
. Dividindo por
e resolvendo:
Explicação: a fórmula diz que a velocidade vertical do topo está relacionada à velocidade horizontal da base multiplicada pela razão
. O sinal menos mostra que quando
aumenta (
),
diminui (
).
Passo 5
Agora calculamos
quando
. Usamos a relação pitagórica
. Substituindo
:
Escolhemos
(a raiz positiva), pois
representa altura.
Passo 6
Substituímos os valores em
. Sabendo que
,
e
:
Em forma decimal isso é
. Interpretação final: o topo da escada está descendo a
naquele instante (o sinal negativo indica descida).
Passo 7
Dica rápida para a prova (passos a seguir em problemas parecidos): (1) identificar
e a relação geométrica (aqui Pitágoras); (2) derivar em relação ao tempo; (3) isolar a taxa desejada; (4) substituir os valores numéricos; (5) interpretar o sinal. Relaxa — isso é padrão em problemas de taxas relacionadas, e com prática fica automático. Vai dar certo!