Questão 3 (5 pontos) Uma escada de 10 m de comprimento está apoiada contra uma parede. A base da escada começa a deslizar para longe da parede a uma taxa de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A que taxa o topo da escada está descendo no momento em que a base da escada está a 6 m da parede?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a que taxa o topo da escada está descendo (ou seja, a velocidade vertical do topo) no instante em que a base está a 6\\ \text{m} da parede. Informações dadas:
  • Comprimento da escada (constante): 10\\ \text{m}.
  • A base afasta-se da parede com taxa \dfrac{dx}{dt}=1\\ \text{m/s} (peguei isto do enunciado).
  • No instante considerado: x=6\\ \text{m} (distância da base à parede).
    O que precisamos encontrar é \dfrac{dy}{dt} no instante em que x=6, onde y é a altura do topo da escada na parede. Vou definir as variáveis claramente:
  • x(t): distância horizontal da base ao pé da parede (em metros).
  • y(t): altura do topo da escada na parede (em metros).
  • t: tempo (em segundos).
    Unidade final pedida: metros por segundo ( \text{m/s}) e o sinal negativo indica que o topo está descendo.

Passo 2

Relação geométrica entre x, y e o comprimento fixo da escada vem do teorema de Pitágoras:
x^2+y^2=10^2.
Explicando: a escada forma um triângulo retângulo com a parede e o chão; o comprimento da escada é a hipotenusa fixa 10\\ \text{m}. Essa equação vale para qualquer instante t.

Passo 3

Vamos diferenciar a relação em relação ao tempo t. Justificativa: x e y variam com o tempo, então derivamos cada termo usando a regra da cadeia. Derivando ambos os lados de
x^2+y^2=100
em relação a t obtemos:
\frac{d}{dt}\big(x^2\big)+\frac{d}{dt}\big(y^2\big)=\frac{d}{dt}(100).
Pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dt}(x^2)=2x\cdot\dfrac{dx}{dt} e \dfrac{d}{dt}(y^2)=2y\cdot\dfrac{dy}{dt}. O lado direito é zero porque 100 é constante. Então:
2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0.

Passo 4

Isolamos \dfrac{dy}{dt}. Dividindo por 2 e resolvendo:
x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}=0 \quad\Rightarrow\quad y\frac{dy}{dt}=-x\frac{dx}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}.
Explicação: a fórmula diz que a velocidade vertical do topo está relacionada à velocidade horizontal da base multiplicada pela razão -x/y. O sinal menos mostra que quando x aumenta ( dx/dt>0), y diminui ( dy/dt<0).

Passo 5

Agora calculamos y quando x=6. Usamos a relação pitagórica x^2+y^2=100. Substituindo x=6:
6^2+y^2=100 \quad\Rightarrow\quad 36+y^2=100 \quad\Rightarrow\quad y^2=64 \quad\Rightarrow\quad y=8.
Escolhemos y=8\\ \text{m} (a raiz positiva), pois y representa altura.

Passo 6

Substituímos os valores em \dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{x}{y}\dfrac{dx}{dt}. Sabendo que \dfrac{dx}{dt}=1\\ \text{m/s}, x=6 e y=8:
\frac{dy}{dt}=-\frac{6}{8}\cdot 1 = -\frac{3}{4}\\ \text{m/s}.
Em forma decimal isso é -0,75\\ \text{m/s}. Interpretação final: o topo da escada está descendo a 0,75\\ \text{m/s} naquele instante (o sinal negativo indica descida).

Passo 7

Dica rápida para a prova (passos a seguir em problemas parecidos): (1) identificar x,y e a relação geométrica (aqui Pitágoras); (2) derivar em relação ao tempo; (3) isolar a taxa desejada; (4) substituir os valores numéricos; (5) interpretar o sinal. Relaxa — isso é padrão em problemas de taxas relacionadas, e com prática fica automático. Vai dar certo!

Resposta

-0,75\\ \text{m/s}

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