Questão 4 (6 pontos) Considere a função f(x)=\frac{x^{3}}{6}-x^{2}. Resolva e responda cada item no lugar marcado. Respostas sem a resolução receberão nota o.
a) (2 pontos) Escreva o domínio e as interseções com os eixos coordenados, se houver.
Resolução:
Respostas: Domínio: □

Interseção(ções): □
b) (1,5 ponto) Calcule f^{\prime}(x) e indique os intervalos de crescimento e decrescimento de f, se houver. Resolução:
f^{\prime}(x)=\square
Intervalos de crescimento: □
Intervalo de decrescimento: □
c) (1,5 ponto) Calcule f^{\prime \prime}(x) e indique os intervalos onde f é côncava para cima e para baixo, se houver. Resolução:
f^{\prime \prime}(x)=\square
Intervalo de concavidade p/cima: □
Intervalo de concavidade p/ baixo: □
d) (1 ponto) Sabendo que não existem assíntotas para f, faça um esboço do gráfico dessa função.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=\dfrac{x^{3}}{6}-x^{2} e pede quatro coisas separadas:
  • (a) determinar o domínio e as interseções com os eixos coordenados (se existirem);
  • (b) calcular f'(x) e indicar os intervalos de crescimento e de decrescimento;
  • (c) calcular f''(x) e indicar os intervalos de concavidade para cima e para baixo;
  • (d) sabendo que não há assíntotas, fazer um esboço do gráfico da função.
As informações relevantes do enunciado que usaremos: a expressão explícita de f(x) é \dfrac{x^{3}}{6}-x^{2}. Não há outras restrições dadas.

Passo 2

(a) Domínio e interseções com os eixos.
  1. Domínio: explicar por que. A função é um polinômio (soma de potências de x com coeficientes constantes). Polinômios estão definidos para todo número real. Portanto o domínio é \mathbb{R}.
  2. Interseções com os eixos:
  • Interseção com o eixo y (quando x=0): calcular f(0).
f(0)=\frac{0^{3}}{6}-0^{2}=0.
Logo a interseção com o eixo y é o ponto (0,0).
  • Interseções com o eixo x (raízes de f, isto é, resolver f(x)=0):
\frac{x^{3}}{6}-x^{2}=0.
Fatorando x^{2}:
x^{2}\!\left(\frac{x}{6}-1\right)=0.
Então as soluções são x^{2}=0\Rightarrow x=0 (raiz de multiplicidade 2) e \dfrac{x}{6}-1=0\Rightarrow x=6. Assim as interseções com o eixo x são (0,0) e (6,0).

Passo 3

(b) Derivada primeira e monotonia — passo a passo com regra das potências.
  1. Regra que vamos usar: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Derivada de constante multiplicativa sai como fator.
  2. Derivando termo a termo:
f(x)=\frac{x^{3}}{6}-x^{2}.
Derivando,
f'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{6}\right)-\frac{d}{dx}\!(x^{2}) =\frac{1}{6}\cdot 3x^{2}-2x.
Simplificando o coeficiente:
f'(x)=\frac{3}{6}x^{2}-2x=\frac{x^{2}}{2}-2x.
Podemos fatorar para analisar sinais:
f'(x)=\frac{x^{2}}{2}-2x=\frac{x(x-4)}{2}.
  1. Pontos críticos e sinal de f': resolvemos f'(x)=0:
\frac{x(x-4)}{2}=0 \Rightarrow x=0 \text{ ou } x=4.
Para saber onde f cresce ou decresce, observamos o sinal de f'(x). Como o denominador 2>0, o sinal é dado por x(x-4).
  • Se x<0: x<0 e x-4<0 \Rightarrow produto positivo \Rightarrow f'(x)>0 (cresce).
  • Se 0<x<4: x>0 e x-4<0 \Rightarrow produto negativo \Rightarrow f'(x)<0 (decresce).
  • Se x>4: x>0 e x-4>0 \Rightarrow produto positivo \Rightarrow f'(x)>0 (cresce).
Portanto:
  • Intervalos de crescimento: \left(-\infty,0\right)\cup\left(4,\infty\right).
  • Intervalo de decrescimento: \left(0,4\right).
(Observação curta e útil para prova: em uma derivada fatorada do tipo \dfrac{x(x-4)}{2} a análise de sinais é feita checando o sinal de cada fator em cada intervalo entre raízes.)

Passo 4

(c) Derivada segunda e concavidade — passo a passo.
  1. Derivada segunda é a derivada de f'(x). Lembrando f'(x)=\dfrac{x^{2}}{2}-2x.
  2. Derivando termo a termo usando a regra das potências:
f''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\right)-\frac{d}{dx}(2x) =\;x-2.
Logo f''(x)=x-2.
  1. Ponto de inflexão e sinais: inflexão ocorre quando f''(x)=0:
x-2=0 \Rightarrow x=2.
Analisando o sinal de f'':
  • Para x<2, f''(x)<0 \Rightarrow concavidade para baixo.
  • Para x>2, f''(x)>0 \Rightarrow concavidade para cima.
Portanto:
  • Intervalo de concavidade para cima: \left(2,\infty\right).
  • Intervalo de concavidade para baixo: \left(-\infty,2\right).

Passo 5

(d) Esboço do gráfico — informações numéricas úteis e como desenhar (passo a passo).
  1. Pontos importantes que já calculamos:
  • Interseções: (0,0) e (6,0).
  • Pontos críticos: x=0 e x=4.
    • f(0)=0 (ponto crítico e também interseção; aqui f' muda de positivo para negativo → máximo local em (0,0)).
    • f(4)=\dfrac{4^{3}}{6}-4^{2}=\dfrac{64}{6}-16=\dfrac{32}{3}-\dfrac{48}{3}=-\dfrac{16}{3} (mínimo local em \bigl(4,-\tfrac{16}{3}\bigr)).
  • Ponto de inflexão: x=2, com
f(2)=\frac{2^{3}}{6}-2^{2}=\frac{8}{6}-4=\frac{4}{3}-4=-\frac{8}{3}.
  1. Comportamento nas extremidades (comportamento assintótico):
  • Como termo dominante é \dfrac{x^{3}}{6} (coeficiente positivo), para x\to\infty tem-se f(x)\to\infty e para x\to -\infty tem-se f(x)\to -\infty. Portanto o gráfico sobe à direita e desce à esquerda. Não há assíntotas (já informado).
  1. Como esboçar (passos práticos para traçar na folha de prova):
  • Desenhe os eixos e marque os pontos (0,0) e (6,0).
  • Marque o máximo local em (0,0) (o gráfico chega de baixo à esquerda, sobe até (0,0) e começa a descer após).
  • Marque o ponto de inflexão em \bigl(2,-\tfrac{8}{3}\bigr); antes de x=2 a curva é côncava para baixo, depois de x=2 passa a ser côncava para cima.
  • Marque o mínimo local em \bigl(4,-\tfrac{16}{3}\bigr) e observe que depois dele o gráfico sobe sem limites.
  • Ligue suavemente esses pontos respeitando concavidade e monotonia: sobe em (-\infty,0), desce em (0,4) (curvando de cima para baixo até x=2 e depois de baixo para cima), e sobe novamente em (4,\infty).
Com essas instruções e pontos marcados obtém-se um esboço fiel do polinômio cúbico pedido.

Resposta

(a) Domínio: \mathbb{R}
Interseção(ções): eixo x: (0,0) e (6,0); eixo y: (0,0)
(b) f'(x)=\frac{x^{2}}{2}-2x=\frac{x(x-4)}{2}
Intervalos de crescimento: \left(-\infty,0\right)\cup\left(4,\infty\right)
Intervalo de decrescimento: \left(0,4\right)
(c) f''(x)=x-2
Intervalo de concavidade p/ cima: \left(2,\infty\right)
Intervalo de concavidade p/ baixo: \left(-\infty,2\right)
(d) Esboço: polinômio cúbico sem assíntotas, sobe para +\infty quando x\to\infty e desce para -\infty quando x\to-\infty; pontos-chave: máximo local em (0,0), ponto de inflexão em \bigl(2,-\tfrac{8}{3}\bigr), mínimo local em \bigl(4,-\tfrac{16}{3}\bigr), e interceptos em (0,0) e (6,0).

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