Questão 4 (6 pontos) Considere a função
. Resolva e responda cada item no lugar marcado. Respostas sem a resolução receberão nota o.
a) (2 pontos) Escreva o domínio e as interseções com os eixos coordenados, se houver.
Resolução:
Respostas: Domínio: □
□
Interseção(ções): □
b) (1,5 ponto) Calcule
e indique os intervalos de crescimento e decrescimento de
, se houver. Resolução:
Intervalos de crescimento: □
Intervalo de decrescimento: □
c) (1,5 ponto) Calcule
e indique os intervalos onde
é côncava para cima e para baixo, se houver. Resolução:
Intervalo de concavidade p/cima: □
Intervalo de concavidade p/ baixo: □
d) (1 ponto) Sabendo que não existem assíntotas para
, faça um esboço do gráfico dessa função.
a) (2 pontos) Escreva o domínio e as interseções com os eixos coordenados, se houver.
□
Interseção(ções): □
b) (1,5 ponto) Calcule
Intervalo de decrescimento: □
c) (1,5 ponto) Calcule
Intervalo de concavidade p/ baixo: □
d) (1 ponto) Sabendo que não existem assíntotas para
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede quatro coisas separadas:
- (a) determinar o domínio e as interseções com os eixos coordenados (se existirem);
- (b) calcular
e indicar os intervalos de crescimento e de decrescimento; - (c) calcular
e indicar os intervalos de concavidade para cima e para baixo; - (d) sabendo que não há assíntotas, fazer um esboço do gráfico da função.
As informações relevantes do enunciado que usaremos: a expressão explícita de
é
. Não há outras restrições dadas.
Passo 2
(a) Domínio e interseções com os eixos.
-
Domínio: explicar por que. A função é um polinômio (soma de potências de
com coeficientes constantes). Polinômios estão definidos para todo número real. Portanto o domínio é . -
Interseções com os eixos:
- Interseção com o eixo
(quando ): calcular .
Logo a interseção com o eixo
é o ponto
.
- Interseções com o eixo
(raízes de , isto é, resolver ):
Fatorando
:
Então as soluções são
(raiz de multiplicidade 2) e
. Assim as interseções com o eixo
são
e
.
Passo 3
(b) Derivada primeira e monotonia — passo a passo com regra das potências.
-
Regra que vamos usar: a derivada de
é . Derivada de constante multiplicativa sai como fator. -
Derivando termo a termo:
Derivando,
Simplificando o coeficiente:
Podemos fatorar para analisar sinais:
- Pontos críticos e sinal de
: resolvemos :
Para saber onde
cresce ou decresce, observamos o sinal de
. Como o denominador
, o sinal é dado por
.
- Se
: e produto positivo (cresce). - Se
: e produto negativo (decresce). - Se
: e produto positivo (cresce).
Portanto:
- Intervalos de crescimento:
. - Intervalo de decrescimento:
.
(Observação curta e útil para prova: em uma derivada fatorada do tipo
a análise de sinais é feita checando o sinal de cada fator em cada intervalo entre raízes.)
Passo 4
(c) Derivada segunda e concavidade — passo a passo.
-
Derivada segunda é a derivada de
. Lembrando . -
Derivando termo a termo usando a regra das potências:
Logo
.
- Ponto de inflexão e sinais: inflexão ocorre quando
:
Analisando o sinal de
:
- Para
, concavidade para baixo. - Para
, concavidade para cima.
Portanto:
- Intervalo de concavidade para cima:
. - Intervalo de concavidade para baixo:
.
Passo 5
(d) Esboço do gráfico — informações numéricas úteis e como desenhar (passo a passo).
- Pontos importantes que já calculamos:
- Interseções:
e . - Pontos críticos:
e . -
(ponto crítico e também interseção; aqui muda de positivo para negativo → máximo local em ). -
(mínimo local em ).
-
- Ponto de inflexão:
, com
- Comportamento nas extremidades (comportamento assintótico):
- Como termo dominante é
(coeficiente positivo), para tem-se e para tem-se . Portanto o gráfico sobe à direita e desce à esquerda. Não há assíntotas (já informado).
- Como esboçar (passos práticos para traçar na folha de prova):
- Desenhe os eixos e marque os pontos
e . - Marque o máximo local em
(o gráfico chega de baixo à esquerda, sobe até e começa a descer após). - Marque o ponto de inflexão em
; antes de a curva é côncava para baixo, depois de passa a ser côncava para cima. - Marque o mínimo local em
e observe que depois dele o gráfico sobe sem limites. - Ligue suavemente esses pontos respeitando concavidade e monotonia: sobe em
, desce em (curvando de cima para baixo até e depois de baixo para cima), e sobe novamente em .
Com essas instruções e pontos marcados obtém-se um esboço fiel do polinômio cúbico pedido.
Resposta
(a) Domínio:
Interseção(ções): eixo :
e
; eixo
:
Interseção(ções): eixo
(b)
Intervalos de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Intervalo de decrescimento:
(c)
Intervalo de concavidade p/ cima:
Intervalo de concavidade p/ baixo:
(d) Esboço: polinômio cúbico sem assíntotas, sobe para quando
e desce para
quando
; pontos-chave: máximo local em
, ponto de inflexão em
, mínimo local em
, e interceptos em
e
.
Intervalo de concavidade p/ baixo:
(d) Esboço: polinômio cúbico sem assíntotas, sobe para