Questāo 2 (2,0 pontos)
Um bloco de massa m=0,50 \mathrm{~kg} está preso a uma mola ideal de constante elástica k= 200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco é puxado até uma distância A=8,0 \mathrm{~cm} da posição de equilíbrio e solto. Em determinado instante, o bloco está na posição x=3,0 \mathrm{~cm}, medida a partir da posição de equilíbrio.
Determine:
e) o módulo da aceleração máxima do bloco.

Passo 1

O enunciado dá um bloco ligado a uma mola sobre superfície horizontal sem atrito e pede, na letra (e), o módulo da aceleração máxima do bloco. Peguei os valores fornecidos no enunciado/imagem:
  • massa do bloco: m = 0,50\\ \mathrm{kg};
  • constante elástica da mola: k = 200\\ \mathrm{N/m};
  • amplitude do movimento: A = 8,0\\ \mathrm{cm};
  • em certo instante o bloco está em x = 3,0\\ \mathrm{cm} (essa posição não é necessária para a letra (e), mas está no enunciado).
A pergunta específica é: determinar o módulo da aceleração máxima do bloco.

Passo 2

Conceito importante (Hooke + Newton): a força elástica que a mola exerce quando o bloco está deslocado de x é dada por:
F_{\text{el}} = -k x.
Aqui F_{\text{el}} tem unidade de newtons, k é a constante elástica (em \mathrm{N/m}) e x é o deslocamento em metros; o sinal negativo indica que a força é restauradora (direcionada para o equilíbrio).
Pela segunda lei de Newton, F = m a. Substituindo a força elástica:
m a = -k x.
Isolando a aceleração a,
a = -\dfrac{k}{m}\,x.
Neste ponto: a depende de x; o módulo da aceleração é |a| = \dfrac{k}{m}\,|x|.

Passo 3

Definição útil (frequência angular do MHS): define-se
\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}},
onde \omega tem unidade \mathrm{rad/s}. Substituindo na expressão da aceleração obtemos a forma padrão do MHS:
a = -\omega^{2} x.
Isso mostra que a aceleração é proporcional (e contrária) ao deslocamento, com fator \omega^{2}.

Passo 4

Determinar o valor máximo do módulo da aceleração. Como |a| = \omega^{2}|x| e o deslocamento máximo em módulo durante o movimento é A, o módulo máximo da aceleração é obtido em |x|=A. Logo:
a_{\max} = \omega^{2} A = \dfrac{k}{m}\,A.
Explicando em palavras: a maior aceleração ocorre nas extremidades do movimento (onde a mola está mais esticada/comprimida), e seu valor é dado por kA/m.

Passo 5

Passar os valores para unidades do SI e substituir. Primeiro converter a amplitude de centímetros para metros:
A = 8,0\\ \mathrm{cm} = 0,08\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular \omega:
\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{200}{0,50}} = \sqrt{400} = 20\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Calcular a_{\max} usando \omega^{2}A (ou diretamente kA/m):
a_{\max} = \omega^{2}A = (20)^{2}\cdot 0,08 = 400\cdot 0,08 = 32\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

32\\ \mathrm{m/s^{2}}

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