Prove que
Passo 1
O que o problema pede: provar que
Informações fornecidas / assumidas:
é uma função escalar suficientemente suave — especificamente, assumimos que
possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas (isto é,
). Não resolvemos nada ainda; apenas deixamos claro o objetivo e a hipótese necessária para que a prova siga.
Passo 2
Definição prática de gradiente: o gradiente de
é o campo vetorial formado pelas derivadas parciais de
em cada coordenada. Em coordenadas cartesianas escrevemos
onde
representa
, e analogamente para
e
. Intuição: o gradiente aponta na direção de maior aumento de
.
Passo 3
Definição prática de rotacional (curl): para um campo vetorial
em coordenadas cartesianas, o rotacional é o vetor cujas componentes são combinações de derivadas parciais:
Explico: cada componente do rotacional mede a diferença entre derivadas cruzadas das componentes do campo — é uma medida de “rotação local” do campo.
Passo 4
Agora substituímos
na fórmula do rotacional e escrevemos cada componente explicitamente. Usando
obtemos
Em notação de derivadas de ordem dois isso é
Passo 5
Teorema usado (explicado): o teorema de igualdade das derivadas mistas (às vezes chamado de teorema de Clairaut) afirma que, se
(ou seja, as segundas derivadas parciais são contínuas), então as derivadas parciais mistas comutam:
Intuição curta: calcular primeiro a derivada em
e depois em
dá o mesmo resultado que fazer na ordem inversa, desde que as segundas derivadas sejam contínuas — não há “salto” que dependa da ordem.
Passo 6
Aplicando a igualdade das derivadas mistas às componentes que escrevemos no Passo 4, cada diferença fica nula:
Portanto todas as componentes do rotacional são zero, logo o rotacional inteiro é o vetor nulo:
Passo 7
Observações finais e alternativa curta: a demonstração acima é a cálculo-analítica em coordenadas cartesianas, que é a forma usual em provas. Conceitualmente, dizemos que gradiente é um campo conservativo (é um “campo gradiente”), e todo campo conservativo tem rotacional nulo. Em linguagem de formas diferenciais, isso corresponde à identidade
. Mas a prova por componentes que fizemos é suficiente e direta para a maioria das provas de prova.