Prove que \boldsymbol{\nabla} x \boldsymbol{\nabla} \Phi=0

Passo 1

O que o problema pede: provar que
\nabla\times\nabla\Phi=\mathbf{0}.
Informações fornecidas / assumidas: \Phi é uma função escalar suficientemente suave — especificamente, assumimos que \Phi possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas (isto é, \Phi\in C^2). Não resolvemos nada ainda; apenas deixamos claro o objetivo e a hipótese necessária para que a prova siga.

Passo 2

Definição prática de gradiente: o gradiente de \Phi é o campo vetorial formado pelas derivadas parciais de \Phi em cada coordenada. Em coordenadas cartesianas escrevemos
\nabla\Phi=\bigl(\partial_x\Phi,\;\partial_y\Phi,\;\partial_z\Phi\bigr),
onde \partial_x\Phi representa \dfrac{\partial\Phi}{\partial x}, e analogamente para \partial_y\Phi e \partial_z\Phi. Intuição: o gradiente aponta na direção de maior aumento de \Phi.

Passo 3

Definição prática de rotacional (curl): para um campo vetorial \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) em coordenadas cartesianas, o rotacional é o vetor cujas componentes são combinações de derivadas parciais:
\nabla\times\mathbf{F}=\Bigl(\partial_y F_z-\partial_z F_y,\;\partial_z F_x-\partial_x F_z,\;\partial_x F_y-\partial_y F_x\Bigr).
Explico: cada componente do rotacional mede a diferença entre derivadas cruzadas das componentes do campo — é uma medida de “rotação local” do campo.

Passo 4

Agora substituímos \mathbf{F}=\nabla\Phi na fórmula do rotacional e escrevemos cada componente explicitamente. Usando \nabla\Phi=(\partial_x\Phi,\partial_y\Phi,\partial_z\Phi) obtemos
\nabla\times\nabla\Phi=\Bigl(\partial_y(\partial_z\Phi)-\partial_z(\partial_y\Phi),\;\partial_z(\partial_x\Phi)-\partial_x(\partial_z\Phi),\;\partial_x(\partial_y\Phi)-\partial_y(\partial_x\Phi)\Bigr).
Em notação de derivadas de ordem dois isso é
\nabla\times\nabla\Phi=\Bigl(\partial_{yz}\Phi-\partial_{zy}\Phi,\;\partial_{zx}\Phi-\partial_{xz}\Phi,\;\partial_{xy}\Phi-\partial_{yx}\Phi\Bigr).

Passo 5

Teorema usado (explicado): o teorema de igualdade das derivadas mistas (às vezes chamado de teorema de Clairaut) afirma que, se \Phi\in C^2 (ou seja, as segundas derivadas parciais são contínuas), então as derivadas parciais mistas comutam:
\partial_{ij}\Phi=\partial_{ji}\Phi\quad\text{para }i,j\in\{x,y,z\}.
Intuição curta: calcular primeiro a derivada em x e depois em y dá o mesmo resultado que fazer na ordem inversa, desde que as segundas derivadas sejam contínuas — não há “salto” que dependa da ordem.

Passo 6

Aplicando a igualdade das derivadas mistas às componentes que escrevemos no Passo 4, cada diferença fica nula:
\partial_{yz}\Phi-\partial_{zy}\Phi=0,\quad \partial_{zx}\Phi-\partial_{xz}\Phi=0,\quad \partial_{xy}\Phi-\partial_{yx}\Phi=0.
Portanto todas as componentes do rotacional são zero, logo o rotacional inteiro é o vetor nulo:
\nabla\times\nabla\Phi=\mathbf{0}.

Passo 7

Observações finais e alternativa curta: a demonstração acima é a cálculo-analítica em coordenadas cartesianas, que é a forma usual em provas. Conceitualmente, dizemos que gradiente é um campo conservativo (é um “campo gradiente”), e todo campo conservativo tem rotacional nulo. Em linguagem de formas diferenciais, isso corresponde à identidade d(d\Phi)=0. Mas a prova por componentes que fizemos é suficiente e direta para a maioria das provas de prova.

Resposta

\mathbf{0}

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