Se \vec{F}(x, y, z)=x z \widehat{x}+x y z \widehat{y}-y^{2} \hat{z}, determine \operatorname{rot} \vec{F}.

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=x z \widehat{x}+x y z \widehat{y}-y^{2}\widehat{z} e pede para determinar \operatorname{rot}\vec{F} (o rotor, ou curl, de \vec{F}). Informação relevante dada:
  • Componente na direção \widehat{x}: x z.
  • Componente na direção \widehat{y}: x y z.
  • Componente na direção \widehat{z}: -y^{2}.
    Pergunta: calcular \operatorname{rot}\vec{F} explicitamente em termos de x,y,z.

Passo 2

Devemos usar a definição componente a componente do rotor. Primeiro apresento a operação e o que cada símbolo significa. O operador nabla é
\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x},\;\frac{\partial}{\partial y},\;\frac{\partial}{\partial z}\right).
O rotor (ou curl) de um campo \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é dado por
\operatorname{rot}\vec{F}=\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\widehat{x}+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\widehat{y}+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\widehat{z}.
Aqui F_x,F_y,F_z são as componentes de \vec{F}. A fórmula acima vem do produto vetorial entre \nabla e \vec{F}; cada termo é uma diferença de derivadas parciais.

Passo 3

Identifico explicitamente as componentes do campo dado:
F_x(x,y,z)=x z,\qquad F_y(x,y,z)=x y z,\qquad F_z(x,y,z)=-y^{2}.
Vou usar essas expressões para calcular as derivadas parciais que entram na fórmula do rotor.

Passo 4

Calculo a componente na direção \widehat{x}:
\frac{\partial F_z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-y^{2})=-2y,
usando a regra do poder: \frac{d}{dy}(y^{2})=2y. Em seguida
\frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x y z)=x y,
pois ao derivar em relação a z a única dependência é o fator z ( x e y são tratados como constantes). Portanto a componente \widehat{x} é
\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}=-2y - x y=-(x+2)\,y.

Passo 5

Calculo a componente na direção \widehat{y}:
\frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x z)=x,
pois x é constante ao derivar em z. E
\frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-y^{2})=0,
já que F_z não depende de x. Portanto a componente \widehat{y} é
\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}=x-0=x.

Passo 6

Calculo a componente na direção \widehat{z}:
\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x y z)=y z,
pois ao derivar em x o produto x y z y z ( y e z são constantes). E
\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x z)=0,
pois x z não depende de y. Portanto a componente \widehat{z} é
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=y z - 0 = y z.

Passo 7

Agora junto as três componentes obtidas para escrever o rotor completo:
\operatorname{rot}\vec{F}=-(x+2)\,y\;\widehat{x}+x\;\widehat{y}+y z\;\widehat{z}.

Resposta

-(x+2)\,y\widehat{x}+x\widehat{y}+y z\widehat{z}

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