Se
, determine
.
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
e pede para determinar
(o rotor, ou curl, de
). Informação relevante dada:
- Componente na direção
: . - Componente na direção
: . - Componente na direção
: .
Pergunta: calcularexplicitamente em termos de .
Passo 2
Devemos usar a definição componente a componente do rotor. Primeiro apresento a operação e o que cada símbolo significa. O operador nabla é
O rotor (ou curl) de um campo
é dado por
Aqui
são as componentes de
. A fórmula acima vem do produto vetorial entre
e
; cada termo é uma diferença de derivadas parciais.
Passo 3
Identifico explicitamente as componentes do campo dado:
Vou usar essas expressões para calcular as derivadas parciais que entram na fórmula do rotor.
Passo 4
Calculo a componente na direção
:
usando a regra do poder:
. Em seguida
pois ao derivar em relação a
a única dependência é o fator
(
e
são tratados como constantes). Portanto a componente
é
Passo 5
Calculo a componente na direção
:
pois
é constante ao derivar em
. E
já que
não depende de
. Portanto a componente
é
Passo 6
Calculo a componente na direção
:
pois ao derivar em
o produto
dá
(
e
são constantes). E
pois
não depende de
. Portanto a componente
é
Passo 7
Agora junto as três componentes obtidas para escrever o rotor completo: