Questāo 1 (4 pontos). Para cada afirmaçāo a seguir, assinale a alternativa correta (Verdadeira ou Falsa). Justifique a seguir a sua resposta. Só serāo consideradas respostas completas.
Item 1.1. (2 pontos). Considere
funçōes contínuas. Defina
por
. A igualdade
está correta.
Verdadeira
ou
Falsa.
Justificativa:
Item 1.1. (2 pontos). Considere
Verdadeira
ou
Falsa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que verifiquemos uma igualdade:
- São dadas
funções contínuas. - Define-se
por . - Quer-se saber se a seguinte igualdade é correta:
- Não são dadas restrições adicionais sobre os intervalos
e , mas entendemos que são intervalos fechados e limitados (padrão em provas).
Passo 2
Primeiro justifico que as integrais iteradas existem: como
e
são contínuas em
, então, em particular,
é contínua em
e
é contínua em
. Uma função contínua em um intervalo fechado é integrável (Riemann). Logo
e
existem como números finitos.
Além disso, a função
é contínua em
(produto de contínuas), portanto é integrável sobre o retângulo e as integrais iteradas
e
existem e coincidem (teorema de Fubini / Tonelli para funções contínuas em retângulo).
Passo 3
Agora faço o cálculo da integral iterada explicitando a ideia chave: para um
fixo,
é apenas um número constante em relação à variável
. Assim, para cada
vale
Aqui usei a propriedade elementar da integral: pode-se fatorar uma constante que não depende da variável de integração para fora da integral. Como
depende de
mas não de
, ela sai da integral em
.
Passo 4
Defino o número (constante em relação a
)
Pela igualdade do passo anterior temos
Agora integramos em
de
a
:
Novamente usei que
é constante (não depende de
), logo pode ser tirado para fora da integral em
.
Passo 5
Reescrevendo
na forma original obtemos exatamente
Portanto a igualdade é verdadeira. Uma forma alternativa e mais geral de ver isso é aplicar o teorema de Fubini: como
é contínua no retângulo,
e a fatoração ocorre pelos mesmos motivos (constantes relativas à variável).
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para fixar: tome
e
, com
e
. Então
que é igual a
.
Resposta
Verdadeira