Questāo 1 (4 pontos). Para cada afirmaçāo a seguir, assinale a alternativa correta (Verdadeira ou Falsa). Justifique a seguir a sua resposta. Só serāo consideradas respostas completas.
Item 1.1. (2 pontos). Considere g, h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funçōes contínuas. Defina f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} por f(x, y)=g(x) \cdot h(y). A igualdade
\int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\left[\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x\right] \cdot\left[\int_{c}^{d} h(y) \mathrm{d} y\right]
está correta.
Verdadeira
ou
Falsa.

Justificativa:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que verifiquemos uma igualdade:
  • São dadas g,h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} funções contínuas.
  • Define-se f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} por f(x,y)=g(x)\cdot h(y).
  • Quer-se saber se a seguinte igualdade é correta:
\int_{c}^{d}\int_{a}^{b} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \left[\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x\right]\cdot\left[\int_{c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right].
  • Não são dadas restrições adicionais sobre os intervalos [a,b] e [c,d], mas entendemos que são intervalos fechados e limitados (padrão em provas).

Passo 2

Primeiro justifico que as integrais iteradas existem: como g e h são contínuas em \mathbb{R}, então, em particular, g é contínua em [a,b] e h é contínua em [c,d]. Uma função contínua em um intervalo fechado é integrável (Riemann). Logo \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x e \int_c^d h(y)\,\mathrm{d}y existem como números finitos.
Além disso, a função f(x,y)=g(x)h(y) é contínua em [a,b]\times[c,d] (produto de contínuas), portanto é integrável sobre o retângulo e as integrais iteradas \int_c^d\!\int_a^b f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y e \int_a^b\!\int_c^d f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x existem e coincidem (teorema de Fubini / Tonelli para funções contínuas em retângulo).

Passo 3

Agora faço o cálculo da integral iterada explicitando a ideia chave: para um y fixo, h(y) é apenas um número constante em relação à variável x. Assim, para cada y\in[c,d] vale
\int_{a}^{b} f(x,y)\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} g(x)\,h(y)\,\mathrm{d}x = h(y)\,\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x.
Aqui usei a propriedade elementar da integral: pode-se fatorar uma constante que não depende da variável de integração para fora da integral. Como h(y) depende de y mas não de x, ela sai da integral em x.

Passo 4

Defino o número (constante em relação a y)
G:=\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x.
Pela igualdade do passo anterior temos
\int_{a}^{b} f(x,y)\,\mathrm{d}x = h(y)\,G.
Agora integramos em y de c a d:
\int_{c}^{d}\int_{a}^{b} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{c}^{d} \big(h(y)\,G\big)\,\mathrm{d}y = G\;\int_{c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y.
Novamente usei que G é constante (não depende de y), logo pode ser tirado para fora da integral em y.

Passo 5

Reescrevendo G na forma original obtemos exatamente
\int_{c}^{d}\int_{a}^{b} f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \left[\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm{d}x\right]\cdot\left[\int_{c}^{d} h(y)\,\mathrm{d}y\right].
Portanto a igualdade é verdadeira. Uma forma alternativa e mais geral de ver isso é aplicar o teorema de Fubini: como f é contínua no retângulo, \iint f = \int (\int f) e a fatoração ocorre pelos mesmos motivos (constantes relativas à variável).

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para fixar: tome g(x)=x e h(y)=y, com a=c=0 e b=d=1. Então
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} xy\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1}\big(y\int_{0}^{1} x\,\mathrm{d}x\big)\mathrm{d}y = \int_{0}^{1} y\cdot\frac{1}{2}\,\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4},
que é igual a \big(\int_0^1 x\,\mathrm{d}x\big)\cdot\big(\int_0^1 y\,\mathrm{d}y\big)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}.

Resposta

Verdadeira

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