Questão 2) (3 pontos cada letra) Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com a equação diferencial e a condição inicial:
com
Como a equação envolve
e
, faz sentido trabalhar num intervalo onde
está bem definida. Vou considerar o intervalo padrão onde
é contínua em torno de
, ou seja
Resumo das informações relevantes:
- A equação dada é de primeira ordem e não linear por causa do termo
. - A condição inicial é
. - Trabalhamos no intervalo
(onde e é bem definida).
Passo 2
Identificar a forma da equação e a estratégia: a equação tem a forma
com
,
e
. Essa é a equação de Bernoulli. A técnica padrão para Bernoulli é fazer a substituição
Vou explicar por que isso ajuda: ao passar para
transformamos a equação não linear em uma equação linear de primeira ordem em
. A seguir calculamos
em termos de
e
para substituir na equação original.
Passo 3
Calcular
e substituir. Seja
Derivando ambos os lados em relação a
(regra da cadeia):
Isolando
obtemos
Agora substituímos
na equação original
Substituindo
:
Dividindo toda a equação por
(válido enquanto
, e no nosso caso inicial
):
Lembrando
, obtemos a equação linear em
:
Passo 4
Colocar a equação de
na forma padrão
. Multiplicando por
:
Portanto é uma equação linear de primeira ordem com
Método para resolver: usar fator integrante. O fator integrante
é dado por
Calculo da integral:
Então
Logo
no intervalo
podemos tirar as barras e usar
, então
.
Passo 5
Multiplicar a equação linear por
transforma o lado esquerdo em derivada do produto
:
O lado esquerdo é
Para o lado direito usamos
, então
Portanto temos a equação integrada
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
Fazemos a substituição
, então
. Assim
Logo
Isolando
:
Passo 7
Voltar à variável
. Lembrando
, temos
Expressão equivalente (unificando frações) pode ser útil mais adiante:
Aplicar a condição inicial
. Em
temos
, então
Logo
Substituindo
em
:
Colocando num único quociente:
Invertemos para obter
:
Passo 8
Escolher o sinal e simplificar a solução final. Como
escolhemos o ramo positivo da raiz quadrada. Além disso, em
temos
, então
. Assim uma forma simples para a solução é
Observação sobre domínio: a expressão só faz sentido onde o denominador dentro da raiz é positivo, ou seja onde
. Em particular, em
temos
, então a condição inicial é satisfeita. O intervalo máximo de existência contendo
termina quando
, mas o enunciado pede a solução no intervalo
; portanto fica explícito que a solução formula acima é válida nos pontos desse intervalo onde
.