Calcule a área do trapézio ABCD .
Por que o quadrilátero ABCD é um trapézio, mas não é um paralelogramo ?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a área do trapézio ABCD e explicar por que o quadrilátero ABCD é um trapézio mas não é um paralelogramo.
Informações dadas no desenho (eu as estou lendo da figura):
AD=11.
BC=8.
No topo, existe o ponto N entre D e C e foi dado \overline{DN}=12. (Estou pegando esse valor da imagem.)
O ângulo entre o lado BC e a base superior DC é 40^\circ (o desenho mostra esse ângulo em C).
As retas DC e AB são paralelas (isso é o que torna ABCD um trapézio). As linhas tracejadas verticais mostram as alturas do trapézio: a perpendicular de D até o segmento AB e a perpendicular de N até o segmento AB. Essas perpendiculares indicam que a distância vertical entre as bases é a altura do trapézio.
Passo 2
Estratégia para a área: usar a fórmula da área do trapézio. Vou explicar ela com calma. A área A de um trapézio cuja bases (paralelas) têm comprimentos b_1 e b_2 e cuja altura é h é
A = \frac{b_1+b_2}{2}\,h.
Explicação rápida: a média das bases vezes a altura é a área porque podemos imaginar duplicar o trapézio e formar um paralelogramo de base b_1+b_2 e altura h; a área do paralelogramo é base vezes altura, dividindo por 2 recuperamos o trapézio.
No nosso caso as bases paralelas são AB (base inferior) e DC (base superior). Precisamos, portanto, da altura h e dos comprimentos AB e DC.
Passo 3
Calcular a altura h. Do ponto B ao ponto C temos o segmento BC de comprimento 8 que forma ângulo de 40^\circ com a base superior DC. A componente vertical desse segmento é exatamente a altura h do trapézio (veja as perpendiculares tracejadas). Assim,
h = 8\sin 40^\circ.
Vou calcular numericamente (uso valores trigonométricos decimais para produzir a área numérica). Sabendo \sin 40^\circ \approx 0{,}6427876097, temos
h = 8\cdot 0{,}6427876097 \approx 5{,}1423008775.
Passo 4
Calcular as projeções horizontais (componentes horizontais) dos lados oblíquos, que nos dão os comprimentos parciais das bases. Explico o raciocínio: coloquei um eixo horizontal de modo que D tenha abscissa 0 e N tenha abscissa 12 (porque \overline{DN}=12). A partir dessa escolha:
A projeção horizontal de BC (do ponto B para C) é NC e vale
A projeção horizontal de AD (do ponto A para D) usaremos a relação pitagórica: o comprimento AD=11 e a altura h formam um triângulo retângulo cuja base é a projeção horizontal AM (onde M é a projeção de D sobre AB). Portanto
AM = \sqrt{AD^{2}-h^{2}}=\sqrt{11^{2}-h^{2}}=\sqrt{121-h^{2}}.
Substituindo o h calculado,
AM \approx \sqrt{121-(5{,}1423008775)^2}\approx \sqrt{121-26{,}435548\;}\approx 9{,}724895\;\text{(aprox.)}.
Passo 5
Agora encontramos os comprimentos das bases AB e DC:
A base superior DC vai de D (abscissa 0) até C (abscissa 12+NC), logo
A \approx 19{,}9266252725\cdot 5{,}1423008775 \approx 102{,}469\\ (\text{aprox.}).
Arredondando com duas casas decimais, a área vale aproximadamente \,102{,}47.
Passo 7
Explicar por que ABCD é trapézio mas não paralelogramo.
É trapézio porque AB e DC são paralelas (ambas horizontais no nosso modelo) e distintas, logo existe ao menos um par de lados opostos paralelos.
Não é paralelogramo porque, para ser paralelogramo, os outros dois lados opostos também teriam de ser paralelos (isto é, AD deveria ser paralelo a BC). Se AD fosse paralelo a BC, suas projeções horizontais teriam de ser iguais; mas vimos que a projeção horizontal de AD é \sqrt{121-h^{2}} e a projeção horizontal de BC é \sqrt{64-h^{2}}. Igualando teríamos
que é impossível. Portanto AD não é paralelo a BC, logo ABCD não é paralelogramo.
Resposta
Área \approx 102{,}47.
Porque somente um par de lados opostos é paralelo (AB\parallel DC), enquanto os outros dois lados (AD e BC) não são paralelos (as projeções horizontais seriam diferentes, levando a 121\neq64).