Questão 4 (2,5 pontos). Um caixote de metal com massa \mathrm{m}=15 \mathrm{~kg} repousa sobre um piso horizontal de concreto. Os coeficientes de atrito estático e cinético são \mu \mathrm{e}=0,60 e \mu \mathrm{k}=0,40, respectivamente. Adote a aceleração da gravidade \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Uma pessoa aplica uma força horizontal P sobre o caixote.
(a) ( 0,5 pontos) Qual é a força de atrito estático máxima ( \mathrm{f}_{\mathrm{e}, \max } )?
(b) ( 0,75 pontos) Se a pessoa aplicar uma força P_{1}=80 \mathrm{~N}, qual será a força de atrito ( f_{1} ) que atua no caixote? O caixote se move?
(c) ( 0,75 pontos) Se a pessoa aumentar a força aplicada para \mathrm{P}_{2}=120 \mathrm{~N}, o caixote entrará em movimento. Qual é a aceleração (a) do caixote?
(d) ( \mathbf{0 , 5} pontos) Partindo do repouso, e com a força \mathrm{P}_{2}=120 \mathrm{~N} atuando, qual a velocidade do caixote após percorrer 1,0 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as respostas listadas abaixo.
Dados fornecidos:
  • m=15\\ \mathrm{kg}.
  • Coeficiente de atrito estático \mu_{e}=0,60.
  • Coeficiente de atrito cinético \mu_{k}=0,40.
  • Aceleração da gravidade g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Uma força horizontal P é aplicada sobre o caixote.
Perguntas a responder:
(a) Qual é a força de atrito estático máxima \,f_{e,\max}\,?
(b) Para P_{1}=80\\ \mathrm{N}: qual é a força de atrito f_{1} que atua no caixote? O caixote se move?
(c) Para P_{2}=120\\ \mathrm{N}: o caixote entra em movimento? Se sim, qual é a aceleração a do caixote?
(d) Partindo do repouso e com P_{2}=120\\ \mathrm{N} atuando: qual a velocidade do caixote após percorrer 1,0\\ \mathrm{m}?

Passo 2

Cálculo da força de atrito estático máxima \,f_{e,\max}\, (resposta da parte a) com explicação das fórmulas usadas).
Conceito e fórmula:
  • A força normal N é a força que a superfície exerce verticalmente sobre o caixote. Em um plano horizontal, sem forças verticais adicionais, N é igual ao peso do objeto.
  • Peso = m g.
  • A força de atrito estático máxima é dada por \,f_{e,\max}=\mu_{e}N\,. Aqui:
    • \mu_{e} é o coeficiente de atrito estático,
    • N é a força normal.
Cálculos:
N = m g = 15\cdot 10 = 150\\ \mathrm{N}.
f_{e,\max} = \mu_{e}N = 0,60\cdot 150 = 90\\ \mathrm{N}.
Interpretação: até 90\\ \mathrm{N} de força horizontal aplicada, o atrito estático pode se ajustar para impedir o movimento. Acima desse valor o corpo começa a deslizar.

Passo 3

Análise para P_{1}=80\\ \mathrm{N} (parte b): determinar a força de atrito f_{1} e se o caixote se move.
Conceito:
  • O atrito estático se ajusta ao valor necessário para impedir o movimento, desde que não ultrapasse f_{e,\max}.
  • Se a força aplicada P é menor ou igual a f_{e,\max}, o corpo permanece em repouso e a força de atrito estático tem a mesma magnitude de P (direção oposta), resultando em aceleração zero.
Comparação e conclusão:
  • P_{1}=80\\ \mathrm{N} e f_{e,\max}=90\\ \mathrm{N}.
  • Como P_{1}<f_{e,\max}, o atrito estático consegue equilibrar P_{1}.
Portanto:
f_{1}=P_{1}=80\\ \mathrm{N},
o caixote não se move (aceleração a=0).

Passo 4

Análise para P_{2}=120\\ \mathrm{N} (parte c): determinar se o caixote entra em movimento e, se sim, calcular a aceleração.
Conceito:
  • Como P_{2}>f_{e,\max}, a força aplicada vence o atrito estático máximo e o caixote começa a deslizar.
  • Durante o deslizamento, o atrito que atua é o atrito cinético, com módulo \,f_{k}=\mu_{k}N\,.
  • A resultante horizontal é \sum F = P_{2} - f_{k} (considerando sentido positivo o da força P_{2}).
  • Pela segunda lei de Newton: \sum F = m a. Assim a = \dfrac{P_{2}-f_{k}}{m}.
Cálculo do atrito cinético:
f_{k} = \mu_{k} N = 0,40\cdot 150 = 60\\ \mathrm{N}.
Cálculo da aceleração:
\sum F = P_{2} - f_{k} = 120 - 60 = 60\\ \mathrm{N}.
a = \frac{\sum F}{m} = \frac{60}{15} = 4\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação: o caixote entra em movimento e acelera para a direita com 4\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Cálculo da velocidade depois de 1,0\\ \mathrm{m} partindo do repouso com aceleração constante a=4\\ \mathrm{m/s^{2}} (parte d).
Conceito:
  • Uma equação cinemática útil quando a aceleração é constante e não se tem o tempo é
v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s,
onde:
  • v é a velocidade final,
  • v_{0} é a velocidade inicial,
  • a é a aceleração,
  • s é o deslocamento.
Dados para aplicar:
  • v_{0}=0 (parte do repouso),
  • a=4\\ \mathrm{m/s^{2}} (do Passo 4),
  • s=1,0\\ \mathrm{m}.
Cálculo:
v^{2} = 0 + 2\cdot 4 \cdot 1,0 = 8.
v = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 2,83\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação numérica: após percorrer 1,0\\ \mathrm{m} com P_{2}=120\\ \mathrm{N}, a velocidade do caixote será aproximadamente 2,83\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) f_{e,\max}=90\\ \mathrm{N}
(b) f_{1}=80\\ \mathrm{N}. O caixote não se move.
(c) a=4\\ \mathrm{m/s^{2}} (o caixote entra em movimento).
(d) v=2\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 2,83\\ \mathrm{m/s}

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