Questão 2 ( 2,5 pontos). Uma bola de beisebol é golpeada junto ao chão fazendo um ângulo de \theta=45^{\circ} com seu vetor velocidade inicial de módulo v_{0}=25,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Em seguida, t=5,00 \mathrm{~s} após ter atingido a altura máxima, a bola passa rente a um alambrado. Admita que o solo seja plano, o módulo da aceleração da gravidade seja g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \cos \left(45^{\circ}\right)=\operatorname{sen}\left(45^{\circ}\right)=0,707, escolha a origem como x_{0}=y_{0}=0 e despreze a resistência do ar. Responda:
(a) ( 0,5 pontos) Qual é a altura máxima atingida pela bola, y_{\max } ?
(b) ( 1,0 ponto) Qual é a altura do alambrado, y_{\text {alambrado }} ? (c) (1,0 ponto) A que distância do alambrado a bola atinge o chão?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Velocidade inicial: v_{0}=25{,}00\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo de lançamento: \theta=45^{\circ}.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • \cos(45^{\circ})=\sin(45^{\circ})=0{,}707.
  • Origem: x_{0}=y_{0}=0.
  • Informação relevante sobre tempo: a bola “passa rente a um alambrado” t=5{,}00\\ \mathrm{s} após ter atingido a altura máxima.
O enunciado pede:
(a) Qual é a altura máxima atingida pela bola, y_{\max} ?
(b) Qual é a altura do alambrado, y_{\text{alambrado}} ?
(c) A que distância do alambrado a bola atinge o chão?
Observação importante (será desenvolvida nos passos seguintes): há que checar se o instante “ 5{,}00\\ \mathrm{s} após ter atingido a altura máxima” é fisicamente possível com os dados fornecidos.

Passo 2

Primeiro passo técnico: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é básico em movimento projetil sem resistência do ar.
Fórmulas e significado:
  • A componente horizontal é v_{0x}=v_{0}\cos\theta. Essa componente permanece constante (porque não há aceleração horizontal).
  • A componente vertical inicial é v_{0y}=v_{0}\sin\theta. Ela é reduzida pela gravidade segundo v_{y}(t)=v_{0y}-g t.
Cálculo usando os números dados:
v_{0x}=v_{0}\cos\theta=25{,}00\times0{,}707=17{,}675\\ \mathrm{m/s},
v_{0y}=v_{0}\sin\theta=25{,}00\times0{,}707=17{,}675\\ \mathrm{m/s}.
(Observação: para \theta=45^{\circ} as componentes são iguais.)

Passo 3

Tempo para atingir a altura máxima.
Conceito: a altura máxima ocorre quando a velocidade vertical se anula: v_{y}(t_{\text{top}})=0. Usando v_{y}(t)=v_{0y}-g t, temos
t_{\text{top}}=\frac{v_{0y}}{g}.
Substituindo:
t_{\text{top}}=\frac{17{,}675}{10}=1{,}7675\\ \mathrm{s}\approx1{,}77\\ \mathrm{s}.
Explicando: após esse tempo a componente vertical passa de positiva para negativa e a bola começa a descer.

Passo 4

Calcular a altura máxima y_{\max}.
Fórmula útil (derivada da cinemática): a altura máxima alcançada quando se parte de y_{0}=0 com velocidade vertical v_{0y} é
y_{\max}=\frac{v_{0y}^{2}}{2g}.
Explicação rápida: essa fórmula vem de conservar o movimento vertical com aceleração constante; também pode ser obtida de v_{y}^{2}=v_{0y}^{2}-2g(y-y_{0}) com v_{y}=0.
Cálculo:
v_{0y}^{2}=(17{,}675)^{2}.
Uma simplificação elegante: v_{0y}=v_{0}\sin45^{\circ} e \sin^{2}45^{\circ}=0{,}5, logo
v_{0y}^{2}=v_{0}^{2}\sin^{2}45^{\circ}=25^{2}\times0{,}5=625\times0{,}5=312{,}5.
Portanto
y_{\max}=\frac{312{,}5}{2\times10}=\frac{312{,}5}{20}=15{,}625\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a bola sobe até 15{,}625\\ \mathrm{m} acima do solo.

Passo 5

Calcular o tempo total de voo e o alcance horizontal (informações úteis para verificar consistência do enunciado).
Tempo total de voo (do lançamento até tocar o chão novamente) para um projétil com y_{0}=0 é
T_{\text{total}}=\frac{2v_{0y}}{g}.
Substituindo:
T_{\text{total}}=\frac{2\times17{,}675}{10}=3{,}535\\ \mathrm{s}\approx3{,}54\\ \mathrm{s}.
Alcance horizontal R (distância horizontal do ponto de lançamento até o ponto de impacto) é
R=v_{0x}\,T_{\text{total}}.
Para \theta=45^{\circ} existe a fórmula simplificada
R=\frac{v_{0}^{2}}{g},
porque \sin(2\theta)=\sin(90^{\circ})=1. Assim
R=\frac{625}{10}=62{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação de consistência com o dado do alambrado: o enunciado diz que a bola passa rente ao alambrado t=5{,}00\\ \mathrm{s} após ter atingido a altura máxima. Vamos checar se isso é possível com os tempos que acabamos de calcular.
Tempo entre atingir o máximo e o pouso (tempo de descida) é
t_{\text{descida}}=T_{\text{total}}-t_{\text{top}}=3{,}535-1{,}7675=1{,}7675\\ \mathrm{s}.
Ou seja, da altura máxima até o chão decorrem apenas 1{,}7675\\ \mathrm{s}. Mas o enunciado pede que consideremos o instante “5{,}00\ \mathrm{s}” após o máximo; esse instante está bem depois do pouso.
Calcular a posição vertical que a equação de movimento daria se, de forma matemática, se aplicasse t=5{,}00\\ \mathrm{s} após o máximo (para ilustrar o problema):
a partir do topo a velocidade vertical inicial é zero, então para um tempo \Delta t=5{,}00\\ \mathrm{s} a posição vertical seria
y(\Delta t)=y_{\max}-\tfrac{1}{2}g(\Delta t)^{2}=15{,}625-\tfrac{1}{2}\times10\times(5{,}00)^{2}=15{,}625-125=-109{,}375\\ \mathrm{m}.
Resultado negativo significa 109{,}375\\ \mathrm{m} abaixo do solo: fisicamente impossível no cenário proposto (não há indicação de túneis ou de ricochete). Portanto o instante informado está além do tempo de voo real.
Conclusão lógica: com os dados fornecidos a bola já teria atingido o solo muito antes de 5{,}00\\ \mathrm{s} após o máximo. Logo não é possível que a bola “passe rente a um alambrado” nesse instante, a menos que falte informação (por exemplo, que houve um novo lançamento, um quique, um outro evento, ou o valor 5{,}00\\ \mathrm{s} seja outro tempo).

Passo 7

Implicações para as perguntas (b) e (c):
  • (b) Não é possível determinar a altura do alambrado y_{\text{alambrado}} usando os dados dados, porque o instante indicado ( 5{,}00\\ \mathrm{s} após o máximo) ocorre depois do pouso da bola. A posição vertical calculada para esse instante é negativa (abaixo do solo), o que mostra a inconsistência.
  • (c) Se o alambrado fosse realmente passado em um instante posterior ao pouso, a distância do alambrado até onde a bola atinge o chão não faz sentido no modelo sem ricochete — a bola já teria pousado antes de passar pelo alambrado. Portanto não há como calcular a distância do alambrado ao ponto de impacto com os dados fornecidos.
Como informação prática que costuma interessar numa prova, deixo os dois valores consistentes que conseguimos calcular:
  • y_{\max}=15{,}625\\ \mathrm{m} (resposta do item (a)), e
  • alcance horizontal total R=62{,}5\\ \mathrm{m} (distância do ponto de lançamento até o ponto onde a bola toca o chão).

Resposta

(a) y_{\max}=15{,}625\\ \mathrm{m}
(b) Não é possível determinar y_{\text{alambrado}}: o instante t=5{,}00\\ \mathrm{s} após o máximo ocorre depois do pouso (a bola já atingiu o solo); portanto o dado é inconsistente.
(c) Não é possível determinar a distância pedida a partir do alambrado até o ponto de impacto, pois o alambrado no instante indicado estaria além do tempo de voo da bola (logo a situação é inconsistente).

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