Questão 2 ( 2,5 pontos). Uma bola de beisebol é golpeada junto ao chão fazendo um ângulo de
com seu vetor velocidade inicial de módulo
. Em seguida,
após ter atingido a altura máxima, a bola passa rente a um alambrado. Admita que o solo seja plano, o módulo da aceleração da gravidade seja
, escolha a origem como
e despreze a resistência do ar. Responda:
(a) ( 0,5 pontos) Qual é a altura máxima atingida pela bola,
?
(b) ( 1,0 ponto) Qual é a altura do alambrado,
? (c) (1,0 ponto) A que distância do alambrado a bola atinge o chão?
(a) ( 0,5 pontos) Qual é a altura máxima atingida pela bola,
(b) ( 1,0 ponto) Qual é a altura do alambrado,
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
- Velocidade inicial:
. - Ângulo de lançamento:
. - Aceleração da gravidade:
. -
. - Origem:
. - Informação relevante sobre tempo: a bola “passa rente a um alambrado”
após ter atingido a altura máxima.
O enunciado pede:
(a) Qual é a altura máxima atingida pela bola, ?
(b) Qual é a altura do alambrado, ?
(c) A que distância do alambrado a bola atinge o chão?
(a) Qual é a altura máxima atingida pela bola,
(b) Qual é a altura do alambrado,
(c) A que distância do alambrado a bola atinge o chão?
Observação importante (será desenvolvida nos passos seguintes): há que checar se o instante “
após ter atingido a altura máxima” é fisicamente possível com os dados fornecidos.
Passo 2
Primeiro passo técnico: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é básico em movimento projetil sem resistência do ar.
Fórmulas e significado:
- A componente horizontal é
. Essa componente permanece constante (porque não há aceleração horizontal). - A componente vertical inicial é
. Ela é reduzida pela gravidade segundo .
Cálculo usando os números dados:
(Observação: para
as componentes são iguais.)
Passo 3
Tempo para atingir a altura máxima.
Conceito: a altura máxima ocorre quando a velocidade vertical se anula:
. Usando
, temos
Substituindo:
Explicando: após esse tempo a componente vertical passa de positiva para negativa e a bola começa a descer.
Passo 4
Calcular a altura máxima
.
Fórmula útil (derivada da cinemática): a altura máxima alcançada quando se parte de
com velocidade vertical
é
Explicação rápida: essa fórmula vem de conservar o movimento vertical com aceleração constante; também pode ser obtida de
com
.
Cálculo:
Uma simplificação elegante:
e
, logo
Portanto
Interpretação: a bola sobe até
acima do solo.
Passo 5
Calcular o tempo total de voo e o alcance horizontal (informações úteis para verificar consistência do enunciado).
Tempo total de voo (do lançamento até tocar o chão novamente) para um projétil com
é
Substituindo:
Alcance horizontal
(distância horizontal do ponto de lançamento até o ponto de impacto) é
Para
existe a fórmula simplificada
porque
. Assim
Passo 6
Verificação de consistência com o dado do alambrado: o enunciado diz que a bola passa rente ao alambrado
após ter atingido a altura máxima. Vamos checar se isso é possível com os tempos que acabamos de calcular.
Tempo entre atingir o máximo e o pouso (tempo de descida) é
Ou seja, da altura máxima até o chão decorrem apenas
. Mas o enunciado pede que consideremos o instante “5{,}00\ \mathrm{s}” após o máximo; esse instante está bem depois do pouso.
Calcular a posição vertical que a equação de movimento daria se, de forma matemática, se aplicasse
após o máximo (para ilustrar o problema):
a partir do topo a velocidade vertical inicial é zero, então para um tempo a posição vertical seria
a partir do topo a velocidade vertical inicial é zero, então para um tempo
Resultado negativo significa
abaixo do solo: fisicamente impossível no cenário proposto (não há indicação de túneis ou de ricochete). Portanto o instante informado está além do tempo de voo real.
Conclusão lógica: com os dados fornecidos a bola já teria atingido o solo muito antes de
após o máximo. Logo não é possível que a bola “passe rente a um alambrado” nesse instante, a menos que falte informação (por exemplo, que houve um novo lançamento, um quique, um outro evento, ou o valor
seja outro tempo).
Passo 7
Implicações para as perguntas (b) e (c):
- (b) Não é possível determinar a altura do alambrado
usando os dados dados, porque o instante indicado ( após o máximo) ocorre depois do pouso da bola. A posição vertical calculada para esse instante é negativa (abaixo do solo), o que mostra a inconsistência. - (c) Se o alambrado fosse realmente passado em um instante posterior ao pouso, a distância do alambrado até onde a bola atinge o chão não faz sentido no modelo sem ricochete — a bola já teria pousado antes de passar pelo alambrado. Portanto não há como calcular a distância do alambrado ao ponto de impacto com os dados fornecidos.
Como informação prática que costuma interessar numa prova, deixo os dois valores consistentes que conseguimos calcular:
-
(resposta do item (a)), e - alcance horizontal total
(distância do ponto de lançamento até o ponto onde a bola toca o chão).
Resposta
(a)
(b) Não é possível determinar : o instante
após o máximo ocorre depois do pouso (a bola já atingiu o solo); portanto o dado é inconsistente.
(c) Não é possível determinar a distância pedida a partir do alambrado até o ponto de impacto, pois o alambrado no instante indicado estaria além do tempo de voo da bola (logo a situação é inconsistente).
(b) Não é possível determinar
(c) Não é possível determinar a distância pedida a partir do alambrado até o ponto de impacto, pois o alambrado no instante indicado estaria além do tempo de voo da bola (logo a situação é inconsistente).