Questão 3 (2,0 Pontos). Calcule a integral indefinida.
\int x^{2} e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int x^{2} e^{2 x}\,dx.
Dados importantes: a função a integrar é o produto de um polinômio x^{2} por uma exponencial e^{2x}. O objetivo final é apresentar uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método. Quando a integranda é um produto de um polinômio por uma exponencial (ou senos/cossenos), o método eficiente é a integração por partes repetida. Vou lembrar e justificar a fórmula de integração por partes:
A regra vem da derivada do produto. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em relação a x obtemos
\int u'(x)v(x)\,dx + \int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x).
Isolando uma das integrais temos a fórmula clássica:
\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx.
Interpretação das variáveis nessa fórmula: u(x) é a parte que escolhemos para derivar (vai gerar u'(x)), e v'(x)\,dx é a parte que escolhemos para integrar (tem antiderivada v(x)). A escolha costuma ser: derive o polinômio (ele simplifica) e integre a exponencial (continua simples).

Passo 3

Aplicando integração por partes pela primeira vez. Escolho
u(x)=x^{2},\qquad v'(x)=e^{2x}.
Calculamos u'(x) e a antiderivada v(x):
u'(x)=2x.
Para obter v(x) integramos v'(x):
v(x)=\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x},
pois a integral de e^{ax} é \frac{1}{a}e^{ax}. Agora aplicamos a fórmula
\int u\,v'\,dx = u v - \int u' v\,dx.
Portanto
\int x^{2} e^{2x}\,dx = x^{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int 2x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\,dx.

Passo 4

Simplificando a expressão do Passo 3:
x^{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int 2x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \int x e^{2x}\,dx.
Note que os fatores 2 e \tfrac{1}{2} se cancelaram dentro da integral, ficando uma integral mais simples \int x e^{2x}\,dx. Agora precisamos calcular \int x e^{2x}\,dx, que faremos por integração por partes novamente.

Passo 5

Segunda aplicação de integração por partes para \int x e^{2x}\,dx. Escolho
u(x)=x,\qquad v'(x)=e^{2x}.
Então
u'(x)=1,\qquad v(x)=\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int 1\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\,dx.
A integral restante é simples:
\int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}.
Portanto
\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração (que vamos absorver na constante final).

Passo 6

Substituímos o resultado de \int x e^{2x}\,dx no que obtivemos no Passo 4:
\int x^{2} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \left(\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}\right) + C.
Agora fazemos a álgebra (preste atenção nos sinais):
\int x^{2} e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x^{2}e^{2x} - \frac{1}{2}x e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} + C.

Passo 7

Fatorando e^{2x} para deixar a resposta mais compacta:
\int x^{2} e^{2x}\,dx = e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\right) + C.
Opcionalmente podemos também escrever como
\int x^{2} e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{4}\bigl(2x^{2}-2x+1\bigr) + C.

Resposta

\frac{e^{2x}}{4}\bigl(2x^{2}-2x+1\bigr)+C

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