Questão 3 (2,0 Pontos). Calcule a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
Dados importantes: a função a integrar é o produto de um polinômio
por uma exponencial
. O objetivo final é apresentar uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais uma constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método. Quando a integranda é um produto de um polinômio por uma exponencial (ou senos/cossenos), o método eficiente é a integração por partes repetida. Vou lembrar e justificar a fórmula de integração por partes:
A regra vem da derivada do produto. Se
e
são funções diferenciáveis, então
Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando uma das integrais temos a fórmula clássica:
Interpretação das variáveis nessa fórmula:
é a parte que escolhemos para derivar (vai gerar
), e
é a parte que escolhemos para integrar (tem antiderivada
). A escolha costuma ser: derive o polinômio (ele simplifica) e integre a exponencial (continua simples).
Passo 3
Aplicando integração por partes pela primeira vez. Escolho
Calculamos
e a antiderivada
:
Para obter
integramos
:
pois a integral de
é
. Agora aplicamos a fórmula
Portanto
Passo 4
Simplificando a expressão do Passo 3:
Note que os fatores
e
se cancelaram dentro da integral, ficando uma integral mais simples
. Agora precisamos calcular
, que faremos por integração por partes novamente.
Passo 5
Segunda aplicação de integração por partes para
. Escolho
Então
Aplicando a fórmula:
A integral restante é simples:
Portanto
onde
é uma constante de integração (que vamos absorver na constante final).
Passo 6
Substituímos o resultado de
no que obtivemos no Passo 4:
Agora fazemos a álgebra (preste atenção nos sinais):
Passo 7
Fatorando
para deixar a resposta mais compacta:
Opcionalmente podemos também escrever como