Questão 1 ( 2,0 Pontos). Considere um cone gerado a partir da rotação de um triângulo retângulo em torno do eixo x, que contém um de seus catetos. O vértice deste cone encontra-se no ponto (-2,0) e sua base intercepta o ponto (8,0). A área de qualquer seção transversal do cone, perpendicular ao eixo x e localizada na abscissa x, é dada pela função A(x).
A(x)=\frac{\pi}{4}(x+2)^{2}
A. ( 0,5 Ponto). Considere um cilindro infinitesimal localizado numa abscissa arbitrária x, com base igual a seção transversal do cone e espessura d x. Determine o volume d V deste cilindro.
B. (1,5 Ponto). O somatório de todos os volumes dos infinitos cilindros infinitesimais converge para uma integral definida. Utilizando esta integral, calcule o valor do volume do cone.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    • O vértice do cone está em (-2,0).
    • A base do cone intercepta o ponto (8,0).
    • A área da seção transversal perpendicular ao eixo x, na abscissa x, é A(x)=\frac{\pi}{4}(x+2)^{2}.
  • Perguntas:
    • (A) Calcular o volume de um cilindro infinitesimal situado numa abscissa genérica x, com base igual à seção transversal do cone e espessura dx. Ou seja, encontrar dV.
    • (B) Usar a soma dos infinitos cilindros (integral definida) para calcular o volume total do cone.

Passo 2

Entendendo o cilindro infinitesimal e a fórmula básica:
  • Ideia física simples: uma “fatia” muito fina do cone, de espessura infinitesimal dx, é bem aproximada por um cilindro cuja área da base é exatamente a seção transversal A(x) naquele x. O volume de um cilindro é área da base vezes altura (ou espessura).
  • Portanto, a contribuição de volume dessa fatia é dV = \text{(área da base)} \cdot \text{(espessura)} = A(x)\,dx.á
  • Substituindo A(x) que o enunciado deu, obtemos diretamente a expressão de dV pedida.

Passo 3

Resposta do item (A) com explicação passo a passo:
  • Usando o resultado do passo anterior, dV = A(x)\,dx.
  • Substituindo A(x)=\dfrac{\pi}{4}(x+2)^{2}, temos dV = \frac{\pi}{4}(x+2)^{2}\,dx.
  • Intuição: isso diz que cada pedacinho de volume é a área do círculo naquela abscissa multiplicada pela espessura infinitesimal.

Passo 4

Montando a integral para o volume total (começo do item B):
  • A soma de todos os volumes dessas fatias infinitesimais ao longo do eixo x é o integral de A(x) em relação a x entre os limites que cobrem o cone.
  • Como o vértice está em x=-2 (lá a seção tem área zero) e a base está em x=8, o cone ocupa o intervalo x\in[-2,8].
  • Logo, o volume total é V=\int_{-2}^{8} A(x)\,dx = \int_{-2}^{8} \frac{\pi}{4}(x+2)^{2}\,dx.

Passo 5

Cálculo da integral passo a passo (resolvendo o integral do Passo 4):
  • Para integrar \dfrac{\pi}{4}(x+2)^2 é conveniente fazer a substituição u=x+2. Então:
    • Quando x=-2 temos u=0.
    • Quando x=8 temos u=10.
    • E du=dx.
  • A integral vira V=\frac{\pi}{4}\int_{0}^{10} u^{2}\,du.
  • Integramos u^{2}: \int u^{2}\,du = \dfrac{u^{3}}{3}.
  • Avaliando nos limites: V=\frac{\pi}{4}\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{10} =\frac{\pi}{4}\cdot\frac{10^{3}}{3} =\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1000}{3}.
  • Simplificando a fração: \frac{1000}{4\cdot 3}=\frac{1000}{12}=\frac{250}{3},então V=\frac{250\pi}{3}.
  • Interpretação final: esse valor é o volume exato do cone gerado pela rotação do triângulo dado.

Resposta

dV=\dfrac{\pi}{4}(x+2)^{2}\,dx
\displaystyle V=\frac{250\pi}{3}

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