Questão 1 ( 2,0 Pontos). Considere um cone gerado a partir da rotação de um triângulo retângulo em torno do eixo
, que contém um de seus catetos. O vértice deste cone encontra-se no ponto
e sua base intercepta o ponto
. A área de qualquer seção transversal do cone, perpendicular ao eixo
e localizada na abscissa
, é dada pela função
.
A. ( 0,5 Ponto). Considere um cilindro infinitesimal localizado numa abscissa arbitrária
, com base igual a seção transversal do cone e espessura
. Determine o volume
deste cilindro.
B. (1,5 Ponto). O somatório de todos os volumes dos infinitos cilindros infinitesimais converge para uma integral definida. Utilizando esta integral, calcule o valor do volume do cone.
B. (1,5 Ponto). O somatório de todos os volumes dos infinitos cilindros infinitesimais converge para uma integral definida. Utilizando esta integral, calcule o valor do volume do cone.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Dados fornecidos:
- O vértice do cone está em
. - A base do cone intercepta o ponto
. - A área da seção transversal perpendicular ao eixo
, na abscissa , é
- O vértice do cone está em
- Perguntas:
- (A) Calcular o volume de um cilindro infinitesimal situado numa abscissa genérica
, com base igual à seção transversal do cone e espessura . Ou seja, encontrar . - (B) Usar a soma dos infinitos cilindros (integral definida) para calcular o volume total do cone.
- (A) Calcular o volume de um cilindro infinitesimal situado numa abscissa genérica
Passo 2
Entendendo o cilindro infinitesimal e a fórmula básica:
- Ideia física simples: uma “fatia” muito fina do cone, de espessura infinitesimal
, é bem aproximada por um cilindro cuja área da base é exatamente a seção transversal naquele . O volume de um cilindro é área da base vezes altura (ou espessura). - Portanto, a contribuição de volume dessa fatia é
- Substituindo
que o enunciado deu, obtemos diretamente a expressão de pedida.
Passo 3
Resposta do item (A) com explicação passo a passo:
- Usando o resultado do passo anterior,
- Substituindo
, temos - Intuição: isso diz que cada pedacinho de volume é a área do círculo naquela abscissa multiplicada pela espessura infinitesimal.
Passo 4
Montando a integral para o volume total (começo do item B):
- A soma de todos os volumes dessas fatias infinitesimais ao longo do eixo
é o integral de em relação a entre os limites que cobrem o cone. - Como o vértice está em
(lá a seção tem área zero) e a base está em , o cone ocupa o intervalo . - Logo, o volume total é
Passo 5
Cálculo da integral passo a passo (resolvendo o integral do Passo 4):
- Para integrar
é conveniente fazer a substituição . Então: - Quando
temos . - Quando
temos . - E
.
- Quando
- A integral vira
- Integramos
: . - Avaliando nos limites:
- Simplificando a fração:
então - Interpretação final: esse valor é o volume exato do cone gerado pela rotação do triângulo dado.