Questão 3 ( 2,0 Pontos). Calcule a seguinte integral definida utilizando a técnica de expansão em frações parciais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
e diz explicitamente que devemos usar a técnica de expansão em frações parciais. Informações dadas e objetivos claros:
- Limites de integração:
e . - Integrando: função racional
. - Método exigido: expansão em frações parciais (decompor a fração em somas mais fáceis de integrar) e depois integrar term a term.
Passo 2
Por que usar frações parciais e qual forma escolher?
Quando temos uma fração racional cuja denominador é produto de fatores simples (aqui ) e fator quadrático irreducível sobre os reais (aqui
), a forma geral da decomposição é:
Quando temos uma fração racional cuja denominador é produto de fatores simples (aqui
onde
são constantes reais a determinar. Explicando: o termo
corresponde ao fator linear
e o termo
corresponde ao fator quadrático irreduzível
(temos que colocar um numerador linear).
Passo 3
Obter as equações para
. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Agora expandimos o lado direito:
Agrupando termos semelhantes:
A igualdade vale para todo
, logo comparamos coeficientes dos polinômios em
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Passo 4
Resolver o sistema linear para
. Das duas primeiras equações:
Substituindo
em
dá
. Agora usamos
:
Logo
Passo 5
Reescrever a integral usando os coeficientes encontrados. Substituindo na decomposição:
Separando os termos:
Assim a integral definida vira soma de integrais simples:
Passo 6
Calcular cada integral básica separadamente, lembrando das primitivadas:
-
. Aqui no intervalo , então usamos . -
. Fazer a substituição , então
-
.
Agora aplicamos aos limites de
a
.
Passo 7
Avaliar cada termo nos limites e somar:
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 8
Somar os três resultados: