Questão 3 ( 2,0 Pontos). Calcule a seguinte integral definida utilizando a técnica de expansão em frações parciais.
\int_{0}^{1} \frac{d x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{dx}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}
e diz explicitamente que devemos usar a técnica de expansão em frações parciais. Informações dadas e objetivos claros:
  • Limites de integração: \,0 e \,1.
  • Integrando: função racional \displaystyle \frac{1}{(x+1)(x^2+1)}.
  • Método exigido: expansão em frações parciais (decompor a fração em somas mais fáceis de integrar) e depois integrar term a term.

Passo 2

Por que usar frações parciais e qual forma escolher?
Quando temos uma fração racional cuja denominador é produto de fatores simples (aqui x+1) e fator quadrático irreducível sobre os reais (aqui x^2+1), a forma geral da decomposição é:
\frac{1}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1},
onde A,B,C são constantes reais a determinar. Explicando: o termo \frac{A}{x+1} corresponde ao fator linear x+1 e o termo \frac{Bx+C}{x^2+1} corresponde ao fator quadrático irreduzível x^2+1 (temos que colocar um numerador linear).

Passo 3

Obter as equações para A,B,C. Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^2+1) para eliminar denominadores:
1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1).
Agora expandimos o lado direito:
A(x^2+1) + (Bx+C)(x+1) = A x^2 + A + Bx^2 + (B+C)x + C.
Agrupando termos semelhantes:
(A+B)x^2 + (B+C)x + (A+C) = 1.
A igualdade vale para todo x, logo comparamos coeficientes dos polinômios em x:
  • Coeficiente de x^2: A+B=0.
  • Coeficiente de x: B+C=0.
  • Termo constante: A+C=1.

Passo 4

Resolver o sistema linear para A,B,C. Das duas primeiras equações:
B=-A,\qquad C=-B.
Substituindo B=-A em C=-B C = -(-A)=A. Agora usamos A+C=1:
A + C = A + A = 2A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{2}.
Logo
A=\frac{1}{2},\qquad B=-\frac{1}{2},\qquad C=\frac{1}{2}.

Passo 5

Reescrever a integral usando os coeficientes encontrados. Substituindo na decomposição:
\frac{1}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{1/2}{x+1}+\frac{-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}}{x^2+1}.
Separando os termos:
\frac{1}{(x+1)(x^2+1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}.
Assim a integral definida vira soma de integrais simples:
I=\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x+1)(x^2+1)} =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{dx}{x+1}-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{x^2+1}+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^2+1}.

Passo 6

Calcular cada integral básica separadamente, lembrando das primitivadas:
  1. \displaystyle \int \frac{dx}{x+1}=\ln|x+1|+C. Aqui x+1>0 no intervalo [0,1], então usamos \ln(x+1).
  2. \displaystyle \int \frac{x\,dx}{x^2+1}. Fazer a substituição u=x^2+1\Rightarrow du=2x\,dx, então
\int \frac{x\,dx}{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C.
  1. \displaystyle \int \frac{dx}{x^2+1}=\arctan(x)+C.
Agora aplicamos aos limites de 0 a 1.

Passo 7

Avaliar cada termo nos limites e somar:
Primeiro termo:
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{dx}{x+1}=\frac{1}{2}\big[\ln(x+1)\big]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\big(\ln 2-\ln 1\big)=\frac{1}{2}\ln 2.
Segundo termo:
-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x\,dx}{x^2+1}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\big[\ln(x^2+1)\big]_{0}^{1} =-\frac{1}{4}\big(\ln 2-\ln 1\big)=-\frac{1}{4}\ln 2.
Terceiro termo:
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^2+1}=\frac{1}{2}\big[\arctan(x)\big]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\left(\arctan 1-\arctan 0\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}.

Passo 8

Somar os três resultados:
I=\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{4}\ln 2+\frac{\pi}{8}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)\ln 2+\frac{\pi}{8} =\frac{1}{4}\ln 2+\frac{\pi}{8}.

Resposta

\frac{1}{4}\ln 2+\frac{\pi}{8}

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