\_\_\_\_ Questão 2. ( 2,0 pontos) Calcule o determinante da matriz abaixo usando método do desenvolvimento de Laplace.
A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 5 & 0 \\\\ 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz A usando o desenvolvimento de Laplace. A matriz dada é
A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 5 & 0 \\\\ 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}\right).
Informações importantes que temos: todos os elementos da matriz A estão explícitos acima; o método exigido é o desenvolvimento de Laplace (expansão por cofatores).

Passo 2

Breve explicação do método (aula rápida e prática):
  • Para uma matriz n\times n, o determinante pode ser calculado por desenvolvimento de Laplace ao longo de uma linha ou coluna.
  • Definições: para o elemento a_{ij} da matriz, o menor (minor) M_{ij} é a submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna j. O cofator C_{ij} é
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • A expansão por uma coluna j é
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}C_{ij}=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • Dica prática: escolhe-se a linha ou coluna com mais zeros para diminuir o trabalho (cada zero anula um termo).

Passo 3

Escolha da coluna para expandir e por quê:
  • Observando A, a primeira coluna tem dois zeros: a_{11}=0 e a_{21}=0. Isso simplifica bastante o cálculo.
  • Os elementos da primeira coluna são a_{11}=0, a_{21}=0, a_{31}=2, a_{41}=1.
  • Logo,
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{21}C_{21}+a_{31}C_{31}+a_{41}C_{41}=a_{31}C_{31}+a_{41}C_{41},
pois a_{11}=a_{21}=0.

Passo 4

Expressar explicitamente os dois termos restantes:
\det(A)=a_{31}(-1)^{3+1}\det(M_{31})+a_{41}(-1)^{4+1}\det(M_{41}).
Substituindo a_{31}=2 e a_{41}=1,
\det(A)=2\cdot(-1)^{4}\det(M_{31})+1\cdot(-1)^{5}\det(M_{41}) =2\det(M_{31})-\,\det(M_{41}).

Passo 5

Calcular \det(M_{31}). Primeiro escrevo M_{31} (elimina-se a linha 3 e a coluna 1 de A):
M_{31}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\\\ -1 & 5 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 \end{array}\right).
Para este 3\times3 é conveniente expandir pela terceira coluna (tem dois zeros em posições favoráveis: M_{31}(2,3)=0 e M_{31}(3,3)=0), então
\det(M_{31})= \text{entrada }(1,3)\cdot(-1)^{1+3}\det\!\left(\begin{pmatrix}-1 & 5\\[2pt] 1 & 2\end{pmatrix}\right).
A entrada (1,3) vale 1 e (-1)^{1+3}=(-1)^4=1. O determinante do 2\times2 é calculado pela fórmula \det\!\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc. Assim,
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 5\\[2pt] 1 & 2\end{pmatrix}=(-1)\cdot 2 - 5\cdot 1=-2-5=-7.
Portanto
\det(M_{31})=1\cdot 1\cdot(-7)=-7.]

Passo 6

Calcular \det(M_{41}). Primeiro escrevo M_{41} (elimina-se a linha 4 e a coluna 1 de A):
M_{41}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\\\ -1 & 5 & 0 \\\\ 0 & -1 & 3 \end{array}\right).
Vou usar a fórmula direta do determinante 3\times3:
\det\begin{pmatrix}a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i\end{pmatrix} = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Substituindo a=2,\\ b=0,\\ c=1,\\ d=-1,\\ e=5,\\ f=0,\\ g=0,\\ h=-1,\\ i=3, obtém-se:
\begin{aligned} \det(M_{41})&=2\bigl(5\cdot 3 - 0\cdot(-1)\bigr)-0\bigl((-1)\cdot 3 - 0\cdot 0\bigr)+1\bigl((-1)\cdot(-1)-5\cdot 0\bigr)\\[4pt] &=2(15-0)-0(\cdot)+1(1-0)\\[4pt] &=30+1=31. \end{aligned}]

Passo 7

Voltar à expressão de \det(A) e finalizar:
\det(A)=2\det(M_{31})-\,\det(M_{41})=2\cdot(-7)-31=-14-31=-45.
Feito! Isso conclui o cálculo pelo desenvolvimento de Laplace.

Resposta

-45

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