Questão 1. Considere o sistema linear
(1)
S=\left\{\begin{array}{r} x+y-3 z=2 \\\ y+z=1 \\\\ 5 x+y+3 z=3 \end{array}\right.
(a) (2,0 pontos) Obtenha a matriz ampliada associada ao sistema acima e reduza à forma escada linha-reduzida.
(b) (1,0 ponto) Determine se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível. Caso o sistema seja possível, determine todas as soluções do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
S=\left\{\begin{array}{r} x+y-3 z=2 \\\ y+z=1 \\\\ 5 x+y+3 z=3 \end{array}\right.
As perguntas são:
(a) Obter a matriz ampliada associada ao sistema e reduzi-la à forma escada linha-reduzida.
(b) Determinar se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível; caso seja possível, apresentar todas as soluções.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficientes das equações e termos independentes estão explícitos nas três equações acima.
  • Não há informação adicional (por exemplo, parâmetros); tudo que é necessário está nas equações dadas.

Passo 2

O que é a matriz ampliada e como montá-la (mini-aula): a matriz ampliada de um sistema linear organiza os coeficientes das incógnitas em colunas e coloca à direita, separada por uma barra vertical, a coluna dos termos independentes. Cada linha corresponde a uma equação. Isso facilita aplicar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para resolver o sistema por eliminação (método de Gauss/Gauss-Jordan).
Montando a matriz ampliada do sistema dado:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -3 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 5 & 1 & 3 & 3 \end{array}\right]
Aqui cada coluna à esquerda corresponde às incógnitas x,y,z respectivamente, e a coluna à direita é o termo independente.]

Passo 3

Breve explicação do objetivo da redução à forma escada linha-reduzida (RREF):
  • Queremos transformar a matriz ampliada por operações elementares de linha até obter uma matriz em que cada linha não-nula comece com um 1 (chamado de pivô), cada pivô seja o único elemento não-nulo em sua coluna e as linhas nulas (se houver) fiquem abaixo das não-nulas. Na RREF cada incógnita básica fica isolada e a leitura das soluções fica direta.
  • As operações permitidas são: (i) trocar duas linhas, (ii) multiplicar uma linha por escalar não-nulo, (iii) adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.

Passo 4

Iniciando a eliminação: usar a primeira linha como pivô na coluna 1 (já tem 1 na posição (1,1)). Aplicar operação para zerar a entrada abaixo do pivô na coluna 1 (linha 3):
R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1.
Calcule cada entrada de R_3:
  • Primeiro elemento: 5 - 5\cdot 1 = 0.
  • Segundo elemento: 1 - 5\cdot 1 = -4.
  • Terceiro elemento: 3 - 5\cdot(-3) = 3 + 15 = 18.
  • Termo independente: 3 - 5\cdot 2 = 3 - 10 = -7.
Matriz após essa operação:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -3 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -4 & 18 & -7 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora usar o pivô em (2,2), que é 1 (ótimo). Objetivo: zerar todas as outras entradas na coluna 2 (acima e abaixo do pivô). Fazer:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2, \qquad R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2.
Calcule R_1 - R_2:
  • 1 - 0 = 1 (coluna 1),
  • 1 - 1 = 0 (coluna 2),
  • -3 - 1 = -4 (coluna 3),
  • 2 - 1 = 1 (termo independente).
    Assim R_1 vira [1\\\ 0\\\ -4\\ |\\\ 1].
Calcule R_3 + 4R_2:
  • 0 + 4\cdot 0 = 0,
  • -4 + 4\cdot 1 = 0,
  • 18 + 4\cdot 1 = 22,
  • -7 + 4\cdot 1 = -3.
    Assim R_3 vira [0\\\ 0\\\ 22\\ |\\\ -3].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -4 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 22 & -3 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora a terceira linha tem pivô 22 na coluna 3. Para ficar na forma linha-reduzida, normalizamos essa linha para que o pivô seja 1:
R_3 \leftarrow \frac{1}{22}R_3.
Isso dá
R_3 = \left[0\\\ 0\\\ 1\\ \big|\\\ -\dfrac{3}{22}\right].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -4 & 1\\[6pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\dfrac{3}{22} \end{array}\right]]

Passo 7

Último passo para obter RREF: zerar os elementos acima do pivô na coluna 3. Fazer:
R_1 \leftarrow R_1 + 4R_3, \qquad R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Calcule R_1 + 4R_3:
  • Coluna 1: 1 + 4\cdot 0 = 1.
  • Coluna 2: 0 + 4\cdot 0 = 0.
  • Coluna 3: -4 + 4\cdot 1 = 0.
  • Termo independente: 1 + 4\cdot\left(-\dfrac{3}{22}\right) = 1 - \dfrac{12}{22} = 1 - \dfrac{6}{11} = \dfrac{11}{11} - \dfrac{6}{11} = \dfrac{5}{11}.
Calcule R_2 - R_3:
  • Coluna 1: 0 - 0 = 0.
  • Coluna 2: 1 - 0 = 1.
  • Coluna 3: 1 - 1 = 0.
  • Termo independente: 1 - \left(-\dfrac{3}{22}\right) = 1 + \dfrac{3}{22} = \dfrac{22}{22} + \dfrac{3}{22} = \dfrac{25}{22}.
Assim obtemos a matriz na forma escada linha-reduzida (RREF):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \dfrac{5}{11}\\[8pt] 0 & 1 & 0 & \dfrac{25}{22}\\[8pt] 0 & 0 & 1 & -\dfrac{3}{22} \end{array}\right]]

Passo 8

Interpretação da RREF e conclusão sobre a solução (mini-aula sobre interpretação):
  • Na RREF cada linha corresponde a uma equação simples do tipo “uma variável = valor”. Aqui as equações são
x = \dfrac{5}{11},\qquad y = \dfrac{25}{22},\qquad z = -\dfrac{3}{22}.
  • Como todas as três incógnitas aparecem como variáveis básicas (cada coluna de incógnita tem um pivô) e não houve linha inconsistente (do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\ c] com c\neq 0), o sistema é possível e determinado (tem exatamente uma solução).
  • Resumindo: o sistema tem solução única dada pelos valores acima.

Resposta

(a) Matriz ampliada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -3 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 5 & 1 & 3 & 3 \end{array}\right]
Matriz na forma escada linha-reduzida (RREF):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \dfrac{5}{11}\\[8pt] 0 & 1 & 0 & \dfrac{25}{22}\\[8pt] 0 & 0 & 1 & -\dfrac{3}{22} \end{array}\right]
(b) O sistema é possível e determinado. Solução única:
x=\dfrac{5}{11},\qquad y=\dfrac{25}{22},\qquad z=-\dfrac{3}{22}.]

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