(a) (2,0 pontos) Obtenha a matriz ampliada associada ao sistema acima e reduza à forma escada linha-reduzida.
(b) (1,0 ponto) Determine se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível. Caso o sistema seja possível, determine todas as soluções do sistema.
As perguntas são:
(a) Obter a matriz ampliada associada ao sistema e reduzi-la à forma escada linha-reduzida.
(b) Determinar se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível; caso seja possível, apresentar todas as soluções.
Informações relevantes fornecidas:
Coeficientes das equações e termos independentes estão explícitos nas três equações acima.
Não há informação adicional (por exemplo, parâmetros); tudo que é necessário está nas equações dadas.
Passo 2
O que é a matriz ampliada e como montá-la (mini-aula): a matriz ampliada de um sistema linear organiza os coeficientes das incógnitas em colunas e coloca à direita, separada por uma barra vertical, a coluna dos termos independentes. Cada linha corresponde a uma equação. Isso facilita aplicar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para resolver o sistema por eliminação (método de Gauss/Gauss-Jordan).
Aqui cada coluna à esquerda corresponde às incógnitas x,y,z respectivamente, e a coluna à direita é o termo independente.]
Passo 3
Breve explicação do objetivo da redução à forma escada linha-reduzida (RREF):
Queremos transformar a matriz ampliada por operações elementares de linha até obter uma matriz em que cada linha não-nula comece com um 1 (chamado de pivô), cada pivô seja o único elemento não-nulo em sua coluna e as linhas nulas (se houver) fiquem abaixo das não-nulas. Na RREF cada incógnita básica fica isolada e a leitura das soluções fica direta.
As operações permitidas são: (i) trocar duas linhas, (ii) multiplicar uma linha por escalar não-nulo, (iii) adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Passo 4
Iniciando a eliminação: usar a primeira linha como pivô na coluna 1 (já tem 1 na posição (1,1)). Aplicar operação para zerar a entrada abaixo do pivô na coluna 1 (linha 3):
Interpretação da RREF e conclusão sobre a solução (mini-aula sobre interpretação):
Na RREF cada linha corresponde a uma equação simples do tipo “uma variável = valor”. Aqui as equações são
x = \dfrac{5}{11},\qquad y = \dfrac{25}{22},\qquad z = -\dfrac{3}{22}.
Como todas as três incógnitas aparecem como variáveis básicas (cada coluna de incógnita tem um pivô) e não houve linha inconsistente (do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\ c] com c\neq 0), o sistema é possível e determinado (tem exatamente uma solução).
Resumindo: o sistema tem solução única dada pelos valores acima.