Questão 4 (2,5 pontos)
Uma carga
é colocada a uma distância
do centro de uma esfera de raio
condutora e aterrada. Mostre que o potencial em todos os pontos fora da esfera pode ser obtido substituindo a esfera por uma carga em algum ponto da linha entre o centro da esfera e a carga
, mantendo as condições de contorno iniciais.
Passo 1
O enunciado coloca uma carga pontual
a uma distância
do centro de uma esfera condutora de raio
mantida em potencial zero (aterrada). Queremos o potencial em todos os pontos fora da esfera (região
). Como não há cargas nessa região (exceto a exterior), o potencial satisfaz a equação de Laplace com as condições de contorno
O objetivo é mostrar que existe uma única solução que coincide com o potencial criado por
mais uma carga imagem
colocada em algum ponto da reta que une o centro da esfera a
.
Passo 2
Postulamos, pela idéia de imagem, que a solução fora da esfera seja
onde
é a posição da carga
(módulo
) e
o local da carga imagem
, do lado de dentro da esfera (módulo
), ambos no mesmo eixo polar. Resta determinar
e
exigindo
.
Passo 3
Em coordenadas esféricas com eixo em direção à carga
, a distância da superfície
até cada carga é
Exigimos
Expandindo ambas as parcelas em série de Legendre, usa-se
Logo a condição
impõe, para todo
,
Passo 4
Para que essa igualdade valha para todo
, precisamos que a razão
seja igual a
, ou seja
Então, tomando
na condição acima, obtemos
Verifica-se que com esses valores a identidade vale para todo
.
Passo 5
Portanto o potencial na região
é exatamente igual ao potencial gerado por duas cargas no vácuo:
- a carga real
em , - uma carga imagem
em,
ambas no mesmo eixo. Pelo teorema da unicidade desse problema de contorno (Dirichlet), esta é a única solução possível.
Resposta
O potencial fora da esfera equivale ao criado por
em
mais a carga imagem
colocada em
ao longo da reta que une o centro da esfera à carga
.