Questão 4 (2,5 pontos)

Uma carga q é colocada a uma distância d do centro de uma esfera de raio a condutora e aterrada. Mostre que o potencial em todos os pontos fora da esfera pode ser obtido substituindo a esfera por uma carga em algum ponto da linha entre o centro da esfera e a carga q, mantendo as condições de contorno iniciais.

Passo 1

O enunciado coloca uma carga pontual q a uma distância d do centro de uma esfera condutora de raio a mantida em potencial zero (aterrada). Queremos o potencial em todos os pontos fora da esfera (região r>= a). Como não há cargas nessa região (exceto a exterior), o potencial satisfaz a equação de Laplace com as condições de contorno
phi(r=a,theta)=0, phi(rtoinfty)=0
O objetivo é mostrar que existe uma única solução que coincide com o potencial criado por q mais uma carga imagem Q' colocada em algum ponto da reta que une o centro da esfera a q.

Passo 2

Postulamos, pela idéia de imagem, que a solução fora da esfera seja
phi(r,theta) =14pivarepsilon0l(qlvert r- rqrvert +Q'lvert r- r'rvertr),
onde rq é a posição da carga q (módulo d) e r' o local da carga imagem Q', do lado de dentro da esfera (módulo b<a), ambos no mesmo eixo polar. Resta determinar Q' e b exigindo phi(a,theta)=0.

Passo 3

Em coordenadas esféricas com eixo em direção à carga q, a distância da superfície r=a até cada carga é
lvert r- rqrvert =raiza^2+d^2-2adcostheta, lvert r- r'rvert =raiza^2+b^2-2abcostheta
Exigimos
phi(a,theta) =14pivarepsilon0l(qraiza^2+d^2-2adcostheta +Q'raiza^2+b^2-2abcosthetar)=0 foralltheta
Expandindo ambas as parcelas em série de Legendre, usa-se
1raiza^2+d^2-2adcostheta =sumell=0^inftya^elld^ell+1,Pell(costheta), 1raiza^2+b^2-2abcostheta =sumell=0^inftyb^ella^ell+1,Pell(costheta)
Logo a condição phi(a,theta)=0 impõe, para todo ell,
q,a^elld^ell+1+Q',b^ella^ell+1=0

Passo 4

Para que essa igualdade valha para todo ell, precisamos que a razão tfracba seja igual a tfracad, ou seja
b=a^2d
Então, tomando ell=0 na condição acima, obtemos
qd+Q'a=0 Longrightarrow Q'=-q,ad
Verifica-se que com esses valores a identidade vale para todo ell.

Passo 5

Portanto o potencial na região r>= a é exatamente igual ao potencial gerado por duas cargas no vácuo:
  • a carga real q em r=d,
  • uma carga imagem
    Q'=-q,ad
    em r=b=a^2/d,
    ambas no mesmo eixo. Pelo teorema da unicidade desse problema de contorno (Dirichlet), esta é a única solução possível.

Resposta

O potencial fora da esfera equivale ao criado por q em r=d mais a carga imagem
Q'=-q,ad
colocada em
r'=a^2d
ao longo da reta que une o centro da esfera à carga q.

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