Questão 3 (2,5 pontos)

Considere uma partícula de massa m sujeita a um potencial V(r, t).
a) (0,4 ponto) Apresente a equação de Scrhödinger para esse sistema;
b) (0,9 ponto) Supondo V(r, t)=V(r), obtenha a solução para a parte temporal da função de onda;
c) (1,2 pontos) Suponha a partícula dentro de um poço de potencial infinito de comprimento a e obtenha os estados estacionários e seus correspondentes autovalores de energia.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m num potencial genérico V(r,t). Precisamos:
– (a) escrever a equação de Schr"odinger dependente do tempo;
– (b) assumir que V não depende de t e separar variáveis para achar a parte temporal da onda;
– (c) aplicar o resultado num poço infinito de comprimento a em 1D, obtendo as funções-próprias estacionárias e seus autovalores de energia.

Passo 2

Para (a) escrevemos diretamente a equação de Schr"odinger dependente do tempo. A amplitude de probabilidade Psi(r,t) satisfaz
ihbarpartialpartial tPsi(r,t) =-hbar^22mnabla^2Psi(r,t) +V(r,t),Psi(r,t)

Passo 3

Para (b) suponha V(r,t)=V(r). A ideia é separar variáveis:
Psi(r,t)=psi(r),T(t)
Inserindo na equação e dividindo por psi T
ihbar1TdTdt =1psil[-hbar^22mnabla^2psi+V(r)psir] =E,
onde E é constante de separação (energia). Da parte temporal vem
ihbardTdt=E,T Longrightarrow T(t)=exp!l(-tfraciE,thbarr)

Passo 4

Para (c) considere o poço infinito em
A parte espacial . A solução normalizada é
e os autovalores de energia são

Resposta

(a)
ihbarpartialpartial tPsi(r,t) =-hbar^22mnabla^2Psi(r,t) +V(r,t),Psi(r,t)
(b)
T(t)=exp!l(-tfraciE,thbarr)
(c)
psin(x)=raiz2asin!l(npi xar), En=hbar^2pi^2n^22m,a^2, n=1,2,3,dots

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