Questão 1 (2,5 pontos)
Uma esfera condutora de raio
e carga total
é imersa em um campo elétrico inicialmente uniforme
. Encontre o potencial em todos os pontos externos a essa esfera.
Formulário:
0
1
1
2
3
|
|
0 | 1 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
Passo 1
O enunciado pede o potencial elétrico em todos os pontos externos a uma esfera condutora de raio
e carga total
imersa num campo uniforme
.
Conteúdo envolvido: solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria azimutal e aplicação de condições de contorno (potencial constante na superfície condutora e comportamento no infinito).
Conteúdo envolvido: solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria azimutal e aplicação de condições de contorno (potencial constante na superfície condutora e comportamento no infinito).
Passo 2
Para regiões externas à esfera (
) o potencial
satisfaz a equação de Laplace e, pela simetria em
, admite expansão em polinômios de Legendre só em
e
:
onde
. O termo
representa o campo uniforme inicial e
é o dipolo induzido.
Passo 3
Impondo as condições de contorno:
- No infinito, o potencial deve corresponder ao campo uniforme, isto é
o que dá
e
.
2. A carga total fornece o termo monopolar
2. A carga total
- Na superfície do condutor (
) o potencial é constante (não depende de ), logo o coeficiente de em deve anular-se:
Passo 4
Substituindo os coeficientes em
obtém-se, para
,