Questão 1 (2,5 pontos)

Uma esfera condutora de raio e carga total é imersa em um campo elétrico inicialmente uniforme . Encontre o potencial em todos os pontos externos a essa esfera.
Formulário:
0 1
1
2
3

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico em todos os pontos externos a uma esfera condutora de raio a e carga total Q imersa num campo uniforme E0=E0,z.
Conteúdo envolvido: solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria azimutal e aplicação de condições de contorno (potencial constante na superfície condutora e comportamento no infinito).

Passo 2

Para regiões externas à esfera ( r>= a) o potencial phi(r,theta) satisfaz a equação de Laplace e, pela simetria em varphi, admite expansão em polinômios de Legendre só em n=0 e n=1:
phi(r,theta)=A0+B0r+l(A1,r+B1r^2r),P1(costheta),
onde P1(costheta)=costheta. O termo A1rcostheta representa o campo uniforme inicial e B1/r^2 é o dipolo induzido.

Passo 3

Impondo as condições de contorno:
  1. No infinito, o potencial deve corresponder ao campo uniforme, isto é
limrtoinftyphi(r,theta)=-E0,rcostheta,
o que dá A0=0 e A1=-E0.
2. A carga total Q fornece o termo monopolar
B0=Q4pivarepsilon0
  1. Na superfície do condutor ( r=a) o potencial é constante (não depende de theta), logo o coeficiente de costheta em r=a deve anular-se:
A1,a+B1a^2=0Longrightarrow -E0,a+B1a^2=0 Longrightarrow B1=E0,a^3

Passo 4

Substituindo os coeficientes em phi(r,theta) obtém-se, para r>= a,
phi(r,theta) =Q4pivarepsilon0,r +l(-E0,r+E0,a^3r^2r)costheta =-E0l(r-a^3r^2r)costheta+Q4pivarepsilon0,r

Resposta

boxed phi(r,theta)= -E0l(r-a^3r^2r)costheta +Q4pivarepsilon0,r, r>= a

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