Questão 1: (2.5 pontos)
Considerando a equação diferencial
y^prime+x y=1+x,
pede-se:
(a) Usando séries de potências, encontre a solução geral da equação diferencial.
(b) Use o teste da razão para calcular o raio de convergência da solução encontra no item (a).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + x,y = 1 + x
e pede (a) a solução geral usando séries de potências em torno de x=0 e (b) o raio de convergência dessa série. Vamos assumir
y(x)=sumn=0^inftyan x^n
e determinar os coeficientes an a partir da equação.

Passo 2

Escrevemos a derivada em série e montamos a equação:
y'(x)=sumn=1^inftyn,an x^,n-1 =sumn=0^infty(n+1),an+1x^n
e
x,y(x)=sumn=0^inftyan x^n+1 =sumn=1^inftyan-1x^n
Logo,
y'+x,y =sumn=0^infty(n+1)an+1x^n +sumn=1^inftyan-1x^n =underbrace(1)n=0x^0 +underbrace(1)n=1x^1 +0cdot x^2+cdots
igual a 1+x.

Passo 3

Comparando coeficientes de x^n na identidade
sumn=0^inftyl[(n+1)an+1+an-1r]x^n =;1cdot x^0+1cdot x^1+0cdot x^2+cdots,
onde tomamos a-1=0, obtemos para n=0
1cdot a1 + a-1=1 Longrightarrow a1=1,
e para n>=1
(n+1)an+1+an-1= 1,&n=1, 0,&n>=2

Passo 4

Da condição para n=1:
2,a2 + a0 =1 Longrightarrow a2=1-a02
Para n>=2 o termo do lado direito é zero, ficando a recursão
an+1=-an-1,n+1,
Dessa forma separam-se os pares e ímpares:
  • Índices ímpares, n=2k!+!1: usando a1=1,
a2k+1 =(-1)^k(2k+1)!!,
onde (2k+1)!!=(2k+1)(2k-1)cdots1.
  • Índices pares, n=2m: introduzindo a constante livre a0=C,
a2m =(-1)^m-1,1-C2^m,m!, m>=1,
e a0=C.

Passo 5

A solução em série fica então
y(x) =summ=0^inftya2mx^2m +sumk=0^inftya2k+1x^2k+1 =Csumm=0^infty(-1)^m2^m,m!x^2m +(1-C)summ=1^infty(-1)^m-12^m,m!x^2m +sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!!x^2k+1
Aqui o primeiro somatório é a solução homogênea C,e^-x^2/2 e os demais compõem a parte particular.

Passo 6

Para o raio de convergência usamos o teste da razão em cada série. Por exemplo, na série homogênea temos
gl|a2(m+1)x^2(m+1)a2mx^2mgr| =|x|^22(m+1);xrightarrow[mtoinfty];0,
o que dá raio infinito. O mesmo vale para as demais séries, pois os coeficientes decrescem factorialmente.

Resposta

a) A solução geral em série é
y(x) =Csumm=0^infty(-1)^m2^m,m!x^2m +(1-C)summ=1^infty(-1)^m-12^m,m!x^2m +sumk=0^infty(-1)^k(2k+1)!!x^2k+1,
onde C=y(0).
b) O raio de convergência é infinito ( R=infty).

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