Determine o limite da função trigonométrica (se existir).
lim x 0 sen(x)(1-cos (x))2 x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0sen(x),l(1-cos(x)r)2x^2
Este é um limite de funções trigonométricas para xto0. Vamos usar as séries de Taylor de sen(x) e cos(x) em torno de 0.

Passo 2

As expansões de Taylor até a ordem necessária são:
sen(x)=x-x^36+O(x^5),
cos(x)=1-x^22+O(x^4)

Passo 3

Dessa expansão, temos
1-cos(x)=x^22+O(x^4)

Passo 4

Multiplicando as expansões de sen(x) e 1-cos(x), obtemos
sen(x),l(1-cos(x)r) =l(x+O(x^3)r)l(tfracx^22+O(x^4)r) =x^32+O(x^5)
Dividindo por 2x^2, isso vira
sen(x),(1-cos(x))2x^2 =x^32+O(x^5)2x^2 =x4+O(x^3)
À medida que xto0, esse termo tende a 0.

Resposta

0

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