Questão 3 (1.5 pontos) - Considere um cilindro oco de comprimento \mathbf{L} e seção circular de raio \mathbf{R}.
Se este cilindro possui carga \boldsymbol{Q}, qual o campo elétrico \overrightarrow{\boldsymbol{E}} no seu interior?

Passo 1

O enunciado dá um cilindro oco de comprimento L e seção circular de raio R. Diz que o cilindro “possui carga” Q (ou seja, há carga total Q associada ao corpo). A figura que acompanha a questão mostra um campo elétrico externo indicado por vetores paralelos à direita, formando um ângulo de 30^\circ com o eixo do cilindro — eu peguei essa informação da imagem.
A pergunta é: qual o campo elétrico \overrightarrow{\boldsymbol{E}} no interior do cilindro (ou seja, dentro do “vazio” interno do cilindro oco)?

Passo 2

Decisão sobre o tipo de cilindro (hipótese necessária): a figura e o estilo da pergunta indicam que o cilindro é um corpo condutor (isto é o caso típico quando se pergunta “campo no interior” mostrando um campo externo e pedindo efeito de blindagem). Vou então assumir que o cilindro é um condutor metálico oco, isolado, carregado com carga total Q. Não pedirei mais informações porque a questão foi formulada assim; se fosse um cilindro isolante com carga distribuída de modo fixo a resposta seria diferente. Vou justificar por que essa suposição leva ao resultado final e explicar a física passo a passo.

Passo 3

Fórmula básica que vamos usar: a Lei de Gauss. Ela diz que, para qualquer superfície fechada S,
\oint_{S} \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde \vec{E} é o campo elétrico, d\vec{S} é o elemento de área orientado, Q_{\text{int}} é a carga total contida no interior da superfície S e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Vou explicar: o lado esquerdo mede o fluxo total de \vec{E} saindo da superfície; o lado direito relaciona esse fluxo com a carga dentro.

Passo 4

Propriedade fundamental de um condutor em equilíbrio eletrostático: o campo elétrico no interior do material condutor deve ser nulo, \vec{E}= \vec{0} dentro do metal. Explicação física simples e intuitiva: se dentro do metal houvesse \vec{E}\neq\vec{0}, cargas livres (elétrons) sentiríam força e continuariam a se mover até que o campo fosse anulado; no equilíbrio estático esse movimento pára, então tem que valer \vec{E}=\vec{0} dentro do metal. Isso é uma propriedade local do material condutor (não do espaço vazio da cavidade ainda).

Passo 5

Consequência da Lei de Gauss aplicada a uma superfície que fica inteiramente dentro do material condutor: escolha uma superfície gaussiana fechada S completamente embutida no metal (entre a parede interna e externa), então Q_{\text{int}}=0 (não há carga no interior do volume metálico) e, como \vec{E}=\vec{0} no metal, a integral dá zero. Isso confirma que a carga livre no condutor reside apenas na superfície externa (e também, no caso de cavidade com carga dentro, poderia aparecer carga na superfície da cavidade, mas aqui não há carga dentro da cavidade além de Q que está no corpo).

Passo 6

Blindagem eletrostática (idéia central para o interior oco): o condutor é um equipotencial — a superfície metálica tem um único potencial elétrico. Quando um campo externo incide sobre o condutor (como na figura, o campo vindo de fora com ângulo 30^\circ), as cargas livres do condutor se rearranjam nas superfícies de modo a anular o campo no interior do metal. O efeito prático é que o campo resultante dentro do espaço oco (a cavidade interior) é zero. Intuição direta: cargas induzidas na superfície criam um campo oposto que cancela o campo externo dentro da região oca; se não cancelassem, ainda haveria força e as cargas continuariam a se mover até cancelamento.

Passo 7

Argumento de unicidade (versão leve/intuitiva): a superfície interior da cavidade metânica está num potencial constante (mesmo potencial do corpo). A equação de Laplace/Poisson com esse contorno tem solução única; a solução que respeita o contorno e não tem fontes dentro é potencial constante na cavidade, o que implica \vec{E}=-\nabla V=\vec{0} na cavidade. Não precisamos resolver equações complicadas: esse teorema garante que o campo dentro não pode ser diferente de zero se as condições de contorno forem as de um condutor em equilíbrio sem cargas internas.

Passo 8

Tratando a presença da carga total Q: mesmo que o corpo tenha carga total Q, em equilíbrio essa carga se localiza nas superfícies externas do condutor (na superfície externa do cilindro, e possivelmente na face interna se houvesse carga dentro da cavidade — mas não há). A presença de Q só altera a distribuição superficial e o potencial externo, mas não altera a conclusão de que dentro da cavidade o campo é nulo. Ou seja, qualquer Q total do condutor não cria campo dentro do espaço oco.

Passo 9

Exemplo concreto para fixar: pense num condutor esférico oco carregado — é bem conhecido que o campo dentro da cavidade é nulo se não houver carga no interior da cavidade. O cilindro condutor se comporta de modo análogo: a cavidade interior fica blindada. A imagem com o campo externo a 30^\circ apenas mostra que, independentemente da direção do campo externo, as cargas induzidas se redistribuem para cancelar o efeito dentro; o ângulo não importa para o resultado final dentro.

Passo 10

Conclusão direta, em linguagem clara: dentro do cilindro oco condutor, no equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é nulo em todo ponto do interior vazio. Isso vale independentemente da orientação do campo externo e independentemente do valor da carga total Q que esteja no condutor (desde que não haja cargas libertas dentro da cavidade).

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{\boldsymbol{E}}=\boldsymbol{0}

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