Questão 2 (4.0 pontos) - Considere um plano infinito de cargas.
a) Calcule o vetor campo elétrico \overrightarrow{\boldsymbol{E}} perto do plano e discuta o porquê deste resultado.
b) Calcule o potencial elétrico \boldsymbol{V} deste plano infinito de cargas.
c) Determine a capacitância \boldsymbol{C} de um capacitor de placas paralelas, cuja área das placas é \boldsymbol{A}, a separação entre elas é \boldsymbol{d}, e o espaço entre as placas esteja no vácuo.
d) Se preenchermos o espaço entre as placas com um material dielétrico, mostre como isso afetará o \overrightarrow{\boldsymbol{E}}, a \boldsymbol{C} e o \boldsymbol{V} deste capacitor? Explique porque isso acontece.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas distintas, e dá alguns dados. Vou listar cada pergunta e as informações importantes que temos:
  • Perguntas do enunciado:
    a) Calcular o vetor campo elétrico \overrightarrow{\boldsymbol{E}} perto de um plano infinito de cargas e discutir por que obtivemos esse resultado.
    b) Calcular o potencial elétrico \boldsymbol{V} desse mesmo plano infinito de cargas.
    c) Determinar a capacitância \boldsymbol{C} de um capacitor de placas paralelas de área \boldsymbol{A}, separação \boldsymbol{d}, com o espaço entre as placas no vácuo.
    d) Se colocarmos um dielétrico entre as placas, mostrar como isso afeta \overrightarrow{\boldsymbol{E}}, \boldsymbol{C} e \boldsymbol{V} e explicar o porquê.
  • Informações relevantes fornecidas ou que iremos usar (e como as chamaremos):
    • Há um plano infinito com carga superficial uniforme. Vou representar a densidade superficial de carga por \sigma (unidade C/m ^2). Se a carga for positiva, o campo aponta para fora; se for negativa, aponta para dentro. O enunciado não deu \sigma numericamente, então usaremos \sigma como parâmetro.
    • Para o capacitor: área das placas \,A, separação \,d e meio entre placas no vácuo (ou depois com dielétrico).
    • Constante elétrica do vácuo: \epsilon_0. Se aparecer dielétrico, usaremos constante relativa \kappa e \epsilon=\kappa\epsilon_0.
A partir daqui começo a resolver e a explicar passo a passo.

Passo 2

Entender a ferramenta principal: a Lei de Gauss. Vou explicar bem devagar, porque é o motor desse problema.
  • A Lei de Gauss, em forma integral, diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga livre contida nessa superfície dividida por \epsilon_0:
\oint_{\text{fechada}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}.
Aqui \mathbf{E} é o campo elétrico, d\mathbf{A} é o vetor área da superfície (módulo área e direção normal), e Q_{\text{int}} é a carga livre dentro da superfície.
  • Por que usar Gauss aqui? Porque o plano é infinito e uniforme: isso dá simetria. Simetria quer dizer que o campo em pontos igualmente distantes do plano tem o mesmo módulo, e o campo tem que ser perpendicular ao plano (se não fosse, haveria uma direção distinguível — quebraria a simetria). Assim podemos escolher uma superfície gaussiana simples que facilita a conta.
Agora vamos aplicar isso para achar \mathbf{E} do plano.

Passo 3

Aplicando Gauss ao plano infinito (passo-a-passo geométrico):
  • Escolho uma “tampa de sorvete” bem simples: um cilindro com eixo perpendicular ao plano, com faces planas paralelas ao plano de carga — esse cilindro é a superfície gaussiana. As duas tampas ficam uma de cada lado do plano, com área A cada, e o plano corta o cilindro ao meio. O lado curvo do cilindro contribui com fluxo zero porque o campo é perpendicular ao lado curvo (campo é perpendicular ao plano, paralelos ao eixo do cilindro).
  • A carga contida dentro da superfície gaussiana é Q_{\text{int}}=\sigma A (peguei \sigma da descrição do plano uniforme e A é a área da face do cilindro).
  • Fluxo total: nas duas faces planas o campo tem módulo constante E e é perpendicular às faces, mas os vetores norma estão em sentidos opostos. Para um plano com carga positiva, o campo sai por ambos os lados do plano, então o fluxo total é E A + E A = 2EA.
  • Aplicando Gauss:
2EA=\frac{\sigma A}{\epsilon_0}.
Cancelei a área A (não nula) e resolvi para E:
E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}.
  • Direção vetorial: o campo está perpendicular ao plano. Usando vetor unitário \hat{n} que aponta para o lado positivo (ou seja, para fora do plano), escrevemos
\overrightarrow{\boldsymbol{E}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\,\hat{n},
se \sigma>0. Se \sigma<0 o campo aponta no sentido oposto. Observação: esse resultado vale em cada lado do plano, com mesma magnitude — o campo não depende da distância ao plano.

Passo 4

Discussão didática do porquê do resultado (intuição física e simetria):
  • Intuição: o plano é infinito, não há “embaixo” ou “longe” — você sempre vê uma distribuição uniforme ao seu redor. Por isso o campo não “decai” com a distância: não há uma diminuição de densidade de linhas de campo como temos em fontes pontuais (onde as linhas se espalham em mais área conforme a distância aumenta). Para o plano infinito, as linhas de campo saem em direção normal e a densidade de linhas por unidade área perpendicular é constante — daí E constante.
  • O fator 1/2 aparece porque a carga do plano cria campo para ambos os lados do plano. Cada lado recebe metade do efeito quando você aplica Gauss no esquema que fizemos.

Passo 5

Calcular o potencial elétrico V do plano infinito (explicando o conceito e as convenções):
  • Relação entre campo elétrico e potencial: o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial,
\overrightarrow{\boldsymbol{E}}=-\nabla V.
Em uma situação unidimensional (campo perpendicular ao plano), pode-se usar a relação de diferença de potencial entre dois pontos a e b:
V(b)-V(a)=-\int_{a}^{b}\overrightarrow{\boldsymbol{E}}\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{\ell}}.
  • Como \overrightarrow{\boldsymbol{E}} é constante e tem módulo E=\sigma/(2\epsilon_0) e é perpendicular ao plano, a integral vira simplesmente -E vezes a distância na direção normal. Escolhendo o eixo x perpendicular ao plano (plano em x=0), e tomando \hat{n} como direção positiva +x, temos:
V(x)-V(0)=-\int_{0}^{x} E\,dx'=-E x.
Portanto
V(x)=V(0)-E x.
  • Substituindo E:
V(x)=V(0)-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\,x.
  • Observações importantes (convenção e divergência): diferentemente de fontes pontuais, o potencial absoluto de um plano infinito não tem um valor natural em infinito (não podemos escolher V(\infty)=0 porque o campo não tende a zero; a integral até infinito diverge). Assim o potencial absoluto é definido só à custa de escolher uma referência arbitrária, por exemplo V(0)=0 no próprio plano. O que é fisicamente significativo são as diferenças de potencial entre dois pontos. Em particular, a diferença de potencial entre dois pontos a distâncias x_1 e x_2 é
V(x_2)-V(x_1)=-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(x_2-x_1).

Passo 6

Agora vamos ao capacitor de placas paralelas (parte c): vou usar os resultados anteriores com cuidado para o caso de duas placas opostas.
  • Modelo: duas placas grandes e planas, paralelas, separadas por distância d. Uma placa tem carga superficial +\sigma e a outra tem carga superficial -\sigma. Cada placa tem área A, e assumimos que as placas são suficientemente grandes para que possamos desprezar efeitos de borda (fringing) — idealmente placas infinitas.
  • Campo entre as placas: por superposição das contribuições de cada placa (cada placa isolada produz \sigma/(2\epsilon_0) de cada lado), entre as placas as contribuições somam:
E_{\text{entre}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}+\frac{\sigma}{2\epsilon_0}=\frac{\sigma}{\epsilon_0}.
Fora das placas (em regiões externas), as contribuições se cancelam (para placas com cargas opostas), então o campo fora é aproximadamente zero — é por isso que o capacitor confina campo entre as placas.
  • Diferença de potencial entre as placas: como o campo entre é constante, o módulo da diferença de potencial é
V=\left|V_{+}-V_{-}\right|=E_{\text{entre}}\,d=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\,d.
Aqui estou usando V para a tensão entre a placa positiva e a negativa.
  • Ligando carga total Q com \sigma: a carga total em uma placa é Q=\sigma A.
  • Capacitância C é definida por C=Q/V. Substituindo:
C=\frac{Q}{V}=\frac{\sigma A}{(\sigma d/\epsilon_0)}=\frac{\epsilon_0 A}{d}.
  • Resultado final: para o capacitor de placas paralelas no vácuo, em aproximação de placas muito grandes,
\boxed{C=\frac{\epsilon_0 A}{d}.}
Expliquei cada passo: cálculo de campo por superposição, relação V=Ed, e Q=\sigma A.

Passo 7

Efeito do dielétrico (parte d): explicação física e derivação matemática passo a passo.
  • O que é um dielétrico? É um material isolante que, quando colocado num campo elétrico, polariza-se: as moléculas/átomos se orientam ligeiramente, gerando cargas ligadas (bound charges) que se opõem ao campo aplicado. Em média isso reduz o campo elétrico interno.
  • Definição útil: permissividade do material \epsilon=\kappa\epsilon_0, onde \kappa é a constante dielétrica relativa (ou constante de permissividade). Para o vácuo, \kappa=1.
  • Campo com dielétrico totalmente preenchendo o capacitor:
    • O campo deslocamento elétrico \mathbf{D} satisfaz \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{\text{livre}}. Para uma distribuição superficial de carga livre \sigma, por simetria obtemos D=\sigma. Em material linear e isotrópico, \mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E}. Então
    \epsilon E_{\text{diel}}=\sigma\quad\Rightarrow\quad E_{\text{diel}}=\frac{\sigma}{\epsilon}=\frac{\sigma}{\kappa\epsilon_0}.
    Ou seja, comparando com o vácuo E_{\text{vac}}=\sigma/\epsilon_0, temos
    E_{\text{diel}}=\frac{E_{\text{vac}}}{\kappa}.
  • Tensão entre as placas com dielétrico:
    V_{\text{diel}}=E_{\text{diel}}\,d=\frac{\sigma}{\epsilon}\,d=\frac{\sigma d}{\kappa\epsilon_0}.
    Como \sigma e d são os mesmos, a tensão diminui por um fator \kappa em relação ao caso vácuo.
  • Capacitância com dielétrico:
    C_{\text{diel}}=\frac{Q}{V_{\text{diel}}}=\frac{\sigma A}{(\sigma d/(\kappa\epsilon_0))}=\frac{\kappa\epsilon_0 A}{d}=\kappa\frac{\epsilon_0 A}{d}.
    Ou seja, a capacitância aumenta em fator \kappa.
  • Resumo físico do porquê:
    • O dielétrico polariza sob o campo; as cargas ligadas geradas diminuem o campo resultante entre as placas. Com campo menor, a mesma carga Q produz menor diferença de potencial V, logo C=Q/V aumenta. Em termos de \mathbf{D}, a mesma carga livre implica o mesmo \mathbf{D}, mas \mathbf{E}=\mathbf{D}/\epsilon é menor quando \epsilon é maior.

Passo 8

Comentários finais úteis para a prova (dicas práticas e convenções):
  • Sempre que lidar com plano infinito, escreva logo a hipótese de simetria: o campo é perpendicular e constante; use Gauss com cilindro. Isso economiza tempo e evita erros.
  • Para potencial de distribuições que não desaparecem no infinito (como plano infinito), cuidado: não dá para definir V(\infty)=0. Em vez disso escolha uma referência conveniente (por exemplo V(0)=0) e trabalhe com diferenças de potencial.
  • Ao calcular capacitância, relacione sempre Q=\sigma A, E entre as placas e V=E d, depois C=Q/V. É uma “receita” que funciona sempre no caso ideal sem bordas.

Resposta

a) \displaystyle \overrightarrow{\boldsymbol{E}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\,\hat{n} (módulo constante em cada lado do plano; direção normal ao plano; sentido depende do sinal de \sigma).
b) \displaystyle V(x)=V(0)-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\,x (potencial absoluto depende de uma escolha de referência; diferenças de potencial dadas por \Delta V=-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\Delta x).
c) \displaystyle C=\frac{\epsilon_0 A}{d}.
d) Com dielétrico de constante relativa \kappa: \displaystyle \overrightarrow{\boldsymbol{E}}_{\text{diel}}=\frac{\overrightarrow{\boldsymbol{E}}_{\text{vac}}}{\kappa}=\frac{\sigma}{\kappa\epsilon_0}\,\hat{n},\quad C_{\text{diel}}=\kappa\frac{\epsilon_0 A}{d},\quad V_{\text{diel}}=\frac{V_{\text{vac}}}{\kappa}=\frac{\sigma d}{\kappa\epsilon_0}.

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