Questão 2 (4.0 pontos) - Considere um plano infinito de cargas.
a) Calcule o vetor campo elétrico
perto do plano e discuta o porquê deste resultado.
b) Calcule o potencial elétrico
deste plano infinito de cargas.
c) Determine a capacitância
de um capacitor de placas paralelas, cuja área das placas é
, a separação entre elas é
, e o espaço entre as placas esteja no vácuo.
d) Se preenchermos o espaço entre as placas com um material dielétrico, mostre como isso afetará o
, a
e o
deste capacitor? Explique porque isso acontece.
a) Calcule o vetor campo elétrico
b) Calcule o potencial elétrico
c) Determine a capacitância
d) Se preenchermos o espaço entre as placas com um material dielétrico, mostre como isso afetará o
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas distintas, e dá alguns dados. Vou listar cada pergunta e as informações importantes que temos:
-
Perguntas do enunciado:
a) Calcular o vetor campo elétricoperto de um plano infinito de cargas e discutir por que obtivemos esse resultado.
b) Calcular o potencial elétricodesse mesmo plano infinito de cargas.
c) Determinar a capacitânciade um capacitor de placas paralelas de área , separação , com o espaço entre as placas no vácuo.
d) Se colocarmos um dielétrico entre as placas, mostrar como isso afeta, e e explicar o porquê. -
Informações relevantes fornecidas ou que iremos usar (e como as chamaremos):
- Há um plano infinito com carga superficial uniforme. Vou representar a densidade superficial de carga por
(unidade C/m ). Se a carga for positiva, o campo aponta para fora; se for negativa, aponta para dentro. O enunciado não deu numericamente, então usaremos como parâmetro. - Para o capacitor: área das placas
, separação e meio entre placas no vácuo (ou depois com dielétrico). - Constante elétrica do vácuo:
. Se aparecer dielétrico, usaremos constante relativa e .
- Há um plano infinito com carga superficial uniforme. Vou representar a densidade superficial de carga por
A partir daqui começo a resolver e a explicar passo a passo.
Passo 2
Entender a ferramenta principal: a Lei de Gauss. Vou explicar bem devagar, porque é o motor desse problema.
- A Lei de Gauss, em forma integral, diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga livre contida nessa superfície dividida por
:
Aqui
é o campo elétrico,
é o vetor área da superfície (módulo área e direção normal), e
é a carga livre dentro da superfície.
- Por que usar Gauss aqui? Porque o plano é infinito e uniforme: isso dá simetria. Simetria quer dizer que o campo em pontos igualmente distantes do plano tem o mesmo módulo, e o campo tem que ser perpendicular ao plano (se não fosse, haveria uma direção distinguível — quebraria a simetria). Assim podemos escolher uma superfície gaussiana simples que facilita a conta.
Agora vamos aplicar isso para achar
do plano.
Passo 3
Aplicando Gauss ao plano infinito (passo-a-passo geométrico):
-
Escolho uma “tampa de sorvete” bem simples: um cilindro com eixo perpendicular ao plano, com faces planas paralelas ao plano de carga — esse cilindro é a superfície gaussiana. As duas tampas ficam uma de cada lado do plano, com área
cada, e o plano corta o cilindro ao meio. O lado curvo do cilindro contribui com fluxo zero porque o campo é perpendicular ao lado curvo (campo é perpendicular ao plano, paralelos ao eixo do cilindro). -
A carga contida dentro da superfície gaussiana é
(peguei da descrição do plano uniforme e é a área da face do cilindro). -
Fluxo total: nas duas faces planas o campo tem módulo constante
e é perpendicular às faces, mas os vetores norma estão em sentidos opostos. Para um plano com carga positiva, o campo sai por ambos os lados do plano, então o fluxo total é . -
Aplicando Gauss:
Cancelei a área
(não nula) e resolvi para
:
- Direção vetorial: o campo está perpendicular ao plano. Usando vetor unitário
que aponta para o lado positivo (ou seja, para fora do plano), escrevemos
se
. Se
o campo aponta no sentido oposto. Observação: esse resultado vale em cada lado do plano, com mesma magnitude — o campo não depende da distância ao plano.
Passo 4
Discussão didática do porquê do resultado (intuição física e simetria):
-
Intuição: o plano é infinito, não há “embaixo” ou “longe” — você sempre vê uma distribuição uniforme ao seu redor. Por isso o campo não “decai” com a distância: não há uma diminuição de densidade de linhas de campo como temos em fontes pontuais (onde as linhas se espalham em mais área conforme a distância aumenta). Para o plano infinito, as linhas de campo saem em direção normal e a densidade de linhas por unidade área perpendicular é constante — daí
constante. -
O fator
aparece porque a carga do plano cria campo para ambos os lados do plano. Cada lado recebe metade do efeito quando você aplica Gauss no esquema que fizemos.
Passo 5
Calcular o potencial elétrico
do plano infinito (explicando o conceito e as convenções):
- Relação entre campo elétrico e potencial: o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial,
Em uma situação unidimensional (campo perpendicular ao plano), pode-se usar a relação de diferença de potencial entre dois pontos
e
:
- Como
é constante e tem módulo e é perpendicular ao plano, a integral vira simplesmente vezes a distância na direção normal. Escolhendo o eixo perpendicular ao plano (plano em ), e tomando como direção positiva , temos:
Portanto
- Substituindo
:
- Observações importantes (convenção e divergência): diferentemente de fontes pontuais, o potencial absoluto de um plano infinito não tem um valor natural em infinito (não podemos escolher
porque o campo não tende a zero; a integral até infinito diverge). Assim o potencial absoluto é definido só à custa de escolher uma referência arbitrária, por exemplo no próprio plano. O que é fisicamente significativo são as diferenças de potencial entre dois pontos. Em particular, a diferença de potencial entre dois pontos a distâncias e é
Passo 6
Agora vamos ao capacitor de placas paralelas (parte c): vou usar os resultados anteriores com cuidado para o caso de duas placas opostas.
-
Modelo: duas placas grandes e planas, paralelas, separadas por distância
. Uma placa tem carga superficial e a outra tem carga superficial . Cada placa tem área , e assumimos que as placas são suficientemente grandes para que possamos desprezar efeitos de borda (fringing) — idealmente placas infinitas. -
Campo entre as placas: por superposição das contribuições de cada placa (cada placa isolada produz
de cada lado), entre as placas as contribuições somam:
Fora das placas (em regiões externas), as contribuições se cancelam (para placas com cargas opostas), então o campo fora é aproximadamente zero — é por isso que o capacitor confina campo entre as placas.
- Diferença de potencial entre as placas: como o campo entre é constante, o módulo da diferença de potencial é
Aqui estou usando
para a tensão entre a placa positiva e a negativa.
-
Ligando carga total
com : a carga total em uma placa é . -
Capacitância
é definida por . Substituindo:
- Resultado final: para o capacitor de placas paralelas no vácuo, em aproximação de placas muito grandes,
Expliquei cada passo: cálculo de campo por superposição, relação
, e
.
Passo 7
Efeito do dielétrico (parte d): explicação física e derivação matemática passo a passo.
-
O que é um dielétrico? É um material isolante que, quando colocado num campo elétrico, polariza-se: as moléculas/átomos se orientam ligeiramente, gerando cargas ligadas (bound charges) que se opõem ao campo aplicado. Em média isso reduz o campo elétrico interno.
-
Definição útil: permissividade do material
, onde é a constante dielétrica relativa (ou constante de permissividade). Para o vácuo, . -
Campo com dielétrico totalmente preenchendo o capacitor:
- O campo deslocamento elétrico
satisfaz . Para uma distribuição superficial de carga livre , por simetria obtemos . Em material linear e isotrópico, . Então
Ou seja, comparando com o vácuo, temos - O campo deslocamento elétrico
-
Tensão entre as placas com dielétrico:Como
e são os mesmos, a tensão diminui por um fator em relação ao caso vácuo. -
Capacitância com dielétrico:Ou seja, a capacitância aumenta em fator
. -
Resumo físico do porquê:
- O dielétrico polariza sob o campo; as cargas ligadas geradas diminuem o campo resultante entre as placas. Com campo menor, a mesma carga
produz menor diferença de potencial , logo aumenta. Em termos de , a mesma carga livre implica o mesmo , mas é menor quando é maior.
- O dielétrico polariza sob o campo; as cargas ligadas geradas diminuem o campo resultante entre as placas. Com campo menor, a mesma carga
Passo 8
Comentários finais úteis para a prova (dicas práticas e convenções):
- Sempre que lidar com plano infinito, escreva logo a hipótese de simetria: o campo é perpendicular e constante; use Gauss com cilindro. Isso economiza tempo e evita erros.
- Para potencial de distribuições que não desaparecem no infinito (como plano infinito), cuidado: não dá para definir
. Em vez disso escolha uma referência conveniente (por exemplo ) e trabalhe com diferenças de potencial. - Ao calcular capacitância, relacione sempre
, entre as placas e , depois . É uma “receita” que funciona sempre no caso ideal sem bordas.
Resposta
a)
(módulo constante em cada lado do plano; direção normal ao plano; sentido depende do sinal de
).
b) (potencial absoluto depende de uma escolha de referência; diferenças de potencial dadas por
).
c) .
d) Com dielétrico de constante relativa :
b)
c)
d) Com dielétrico de constante relativa