Um feixe de luz cilíndrico, de diâmetro 2 a, incide sobre um centro espalhador esférico, de mesmo diâmetro, situado na origem de eixos do sistema cuja base cartesiana tem os versores \hat{\boldsymbol{x}}\, \hat{\boldsymbol{y}} e \hat{\boldsymbol{z}}. O feixe e é espalhado elasticamente pelo centro, produzindo ondas esféricas. Suponha que a energia do feixe cilídrico é completamente absorvida e re-irradiada pelo centro espalhador na forma de ondas esféricas. Usando as constantes \overrightarrow{\boldsymbol{k}}=k \hat{\boldsymbol{z}} e \omega para indicar o vetor de onda e a frequência da luz, os campos incidente e irradiado podem ser expressos como
\overrightarrow{\boldsymbol{E}}_{\text {in }}=E_{0} \cos (k z-\omega t) \hat{\boldsymbol{x}}, \quad(z \leq 0), \quad \text { e } \quad \overrightarrow{\boldsymbol{E}}_{\text {out }}=E_{F} \sqrt{\sigma(\theta, \varphi)} \frac{\cos (k r-\omega t)}{r} \hat{\boldsymbol{\theta}},
onde r, \theta e \varphi são coordenadas esféricas, cuja base é formada pelos versores unitários \hat{\boldsymbol{r}}, \hat{\boldsymbol{\theta}} e \hat{\boldsymbol{\varphi}}. Nos ítens abaixo, expresse a média de \sigma sobre o ângulo sólido como \langle\sigma\rangle, quando necessário.
(a) Se E_{0} e E_{F} têm unidades de campo elétrico, quais as unidades da função \sigma(\theta, \varphi) ?
(b) Calcule o vetor de Poynting e sua média temporal para os feixes incidente e irradiado.
(c) Derive uma relação entre E_{0} e E_{F} que expresse a conservação da energia no espalhamento.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras. Vou listar tudo para a gente não se perder.
  • Campo incidente:
\overrightarrow{\boldsymbol{E}}_{\text{in}} = E_{0}\cos(kz-\omega t)\,\hat{\boldsymbol{x}},\qquad (z\le 0).
  • Campo irradiado (ondas esféricas):
\overrightarrow{\boldsymbol{E}}_{\text{out}} = E_{F}\,\sqrt{\sigma(\theta,\varphi)}\,\frac{\cos(kr-\omega t)}{r}\,\hat{\boldsymbol{\theta}}.
  • O feixe incidente é cilíndrico de diâmetro 2a (logo área de seção transversal \pi a^{2}).
  • O centro espalhador está na origem e re-irradia toda a energia em ondas esféricas (conservação de potência).
  • Os vetores de onda e frequência são \overrightarrow{\boldsymbol{k}}=k\hat{\boldsymbol{z}} e \omega.
  • A média angular de \sigma pode ser escrita como \langle\sigma\rangle = \dfrac{1}{4\pi}\int_{4\pi}\sigma(\theta,\varphi)\,d\Omega.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar as unidades da função \sigma(\theta,\varphi) sabendo que E_{0} e E_{F} têm unidades de campo elétrico.
(b) Calcular o vetor de Poynting \vec S e sua média temporal tanto para o feixe incidente quanto para o irradiado.
(c) Usando conservação de energia, obter uma relação entre E_{0} e E_{F} (usar \langle\sigma\rangle quando conveniente).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
  • O vetor de Poynting instantâneo é a densidade de fluxo de potência (potência por área) do campo eletromagnético:
\vec S(t) = \frac{1}{\mu_{0}}\,\vec E(t)\times\vec B(t),
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo. A unidade de \vec S é \mathrm{W/m^{2}}.
  • Para ondas eletromagnéticas em vácuo (ou ar), os campos elétrico e magnético estão relacionados por
\vec B = \frac{1}{c}\,\hat n\times\vec E,
onde c = 1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} é a velocidade da luz, e \hat n é a direção de propagação da onda (por exemplo \hat z para a plana incidente, \hat r para a onda esférica).
  • A média temporal de uma função oscilatória como \cos^{2}(kx-\omega t) ao longo de um período é
\langle \cos^{2}(\cdot)\rangle_{t} = \frac{1}{2}.
Isso aparece sempre que tomamos média de potências proporcionais a E^{2}.
  • Intensidade (média temporal do fluxo) para uma onda é \langle S\rangle. Para uma onda plana com amplitude E_{\text{amp}} sabe-se (e podemos mostrar) que
\langle S\rangle = \frac{E_{\text{amp}}^{2}}{2\mu_{0} c}.
Vou aplicar essas relações explicitamente aos dois campos.

Passo 3

Campo magnético do feixe incidente (detalhe da derivação).
O feixe incidente é uma onda plana que se propaga na direção \hat z com campo elétrico \vec E_{\text{in}} = E_{0}\cos(kz-\omega t)\,\hat x. Usando a relação entre \vec E e \vec B para uma onda que se propaga em \hat n=\hat z,
\vec B_{\text{in}} = \frac{1}{c}\,\hat z\times\vec E_{\text{in}}.
Calculemos o produto vetorial: \hat z\times\hat x = \hat y. Portanto
\vec B_{\text{in}} = \frac{E_{0}}{c}\cos(kz-\omega t)\,\hat y.
Comentário: as direções são perpendiculares ( \hat x,\hat y,\hat z formam um triângulo ortogonal) como esperado para uma onda plana.

Passo 4

Vetor de Poynting instantâneo e média temporal para o incidente.
Agora aplicamos \vec S=(1/\mu_{0})\vec E\times\vec B. Para o incidente,
\vec S_{\text{in}}(t) = \frac{1}{\mu_{0}}\; \big(E_{0}\cos(kz-\omega t)\,\hat x\big)\times\big(\frac{E_{0}}{c}\cos(kz-\omega t)\,\hat y\big).
O produto escalar das amplitude dá E_{0}^{2}/c e \hat x\times\hat y=\hat z. Portanto
\vec S_{\text{in}}(t)=\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0} c}\cos^{2}(kz-\omega t)\,\hat z.
Média temporal (usar \langle\cos^{2}\rangle=1/2):
\langle\vec S_{\text{in}}\rangle = \frac{E_{0}^{2}}{2\mu_{0} c}\,\hat z.
Interpretação: isso é a intensidade do feixe incidente (potência por unidade de área) e aponta no sentido da propagação \hat z.

Passo 5

Campo magnético para a onda esférica irradiada (detalhe da derivação).
A onda irradiada propaga radialmente (direção \hat r). Para ondas no regime de radiação, usamos a mesma relação local entre \vec E e \vec B:
\vec B_{\text{out}} = \frac{1}{c}\,\hat r\times\vec E_{\text{out}}.
Dado \vec E_{\text{out}} = E_{F}\sqrt{\sigma(\theta,\varphi)}\dfrac{\cos(kr-\omega t)}{r}\,\hat\theta, calculamos o produto vetorial: \hat r\times\hat\theta = \hat\varphi. Logo
\vec B_{\text{out}} = \frac{E_{F}}{c}\sqrt{\sigma(\theta,\varphi)}\,\frac{\cos(kr-\omega t)}{r}\,\hat\varphi.
Comentário: \hat\theta,\hat\varphi,\hat r também formam um triângulo ortogonal adequado para ondas esféricas.

Passo 6

Vetor de Poynting instantâneo e média temporal para a irradiada.
Aplicando \vec S=(1/\mu_{0})\vec E\times\vec B ao campo irradiado:
\vec S_{\text{out}}(t)=\frac{1}{\mu_{0}}\left(E_{F}\sqrt{\sigma}\frac{\cos(kr-\omega t)}{r}\,\hat\theta\right)\times\left(\frac{E_{F}}{c}\sqrt{\sigma}\frac{\cos(kr-\omega t)}{r}\,\hat\varphi\right).
As amplitudes multiplicam para dar E_{F}^{2}\sigma(\theta,\varphi)\dfrac{\cos^{2}(kr-\omega t)}{c\,r^{2}}. O produto vetorial \hat\theta\times\hat\varphi=\hat r. Assim
\vec S_{\text{out}}(t)=\frac{E_{F}^{2}}{\mu_{0} c}\,\frac{\sigma(\theta,\varphi)\cos^{2}(kr-\omega t)}{r^{2}}\,\hat r.
Fazendo a média temporal ( \langle\cos^{2}\rangle=1/2):
\langle\vec S_{\text{out}}\rangle = \frac{E_{F}^{2}}{2\mu_{0} c}\,\frac{\sigma(\theta,\varphi)}{r^{2}}\,\hat r.
Interpretação: essa é a intensidade radial por unidade de área por unidade de ângulo; note o fator 1/r^{2} típico de ondas esféricas.

Passo 7

Potência total incidente sobre o espalhador.
A potência que chega ao espalhador é a intensidade média do feixe incidente multiplicada pela área da seção transversal do feixe (círculo de raio a). Assim:
P_{\text{in}} = \langle S_{\text{in}}\rangle \times (\text{área}) = \frac{E_{0}^{2}}{2\mu_{0} c}\times \pi a^{2}.á
Explicação: intensidade é energia por unidade de tempo por unidade de área; multiplicando por área obtemos potência (energia por unidade de tempo) total que incide.

Passo 8

Potência total irradiada pelo centro (integração sobre esfera).
A potência total irradiada é dada pela integral do fluxo radial médio através de uma esfera de raio r:
P_{\text{out}} = \int_{S}\langle\vec S_{\text{out}}\rangle\cdot\hat r\, dA.
Como \langle\vec S_{\text{out}}\rangle\cdot\hat r = \dfrac{E_{F}^{2}}{2\mu_{0} c}\dfrac{\sigma(\theta,\varphi)}{r^{2}} e dA = r^{2} d\Omega, o r^{2} cancela:
P_{\text{out}} = \frac{E_{F}^{2}}{2\mu_{0} c}\int_{4\pi}\sigma(\theta,\varphi)\,d\Omega.
Usando a definição da média angular \langle\sigma\rangle = \dfrac{1}{4\pi}\int_{4\pi}\sigma\,d\Omega, temos
\int_{4\pi}\sigma\,d\Omega = 4\pi\langle\sigma\rangle,
portanto
P_{\text{out}} = \frac{E_{F}^{2}}{2\mu_{0} c}\,4\pi\langle\sigma\rangle.

Passo 9

Conservação de energia e relação entre E_{0} e E_{F}.
Pela hipótese do enunciado, toda potência incidente é re-irradiada: P_{\text{in}} = P_{\text{out}}. Substituindo as expressões obtidas:
\frac{E_{0}^{2}}{2\mu_{0} c}\,\pi a^{2} \;=\; \frac{E_{F}^{2}}{2\mu_{0} c}\,4\pi\langle\sigma\rangle.
Cancelamos o fator comum \dfrac{1}{2\mu_{0} c} e \pi, obtendo
E_{0}^{2} a^{2} = 4 E_{F}^{2}\langle\sigma\rangle.
Isolando E_{F}:
E_{F}^{2} = \frac{E_{0}^{2} a^{2}}{4\langle\sigma\rangle}\quad\Rightarrow\quad E_{F} = \frac{E_{0}\,a}{2\sqrt{\langle\sigma\rangle}}.
Comentário sobre o sinal: tomamos as amplitudes positivas; a relação de fase (sinais/cosenos) não é necessária para a conservação de potência, apenas as amplitudes quadráticas.

Passo 10

Unidades e consistência final (verificação rápida).
  • De (a) sabemos que \sigma deve ter unidades de comprimento ao quadrado para que \sqrt{\sigma}/r seja adimensional e \vec E_{\text{out}} tenha unidades de campo elétrico. Portanto \sigma em SI tem unidades \mathrm{m^{2}} (área), e \langle\sigma\rangle igualmente.
  • A relação final para E_{F} preserva homogeneidade de unidades: a/\sqrt{\langle\sigma\rangle} é adimensional, então E_{F} tem as mesmas unidades de E_{0}.

Resposta

(a) \sigma(\theta,\varphi) tem unidades de área (SI: \mathrm{m^{2}}).
(b)
\displaystyle \vec S_{\text{in}}(t)=\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0} c}\cos^{2}(kz-\omega t)\,\hat z,\quad \langle\vec S_{\text{in}}\rangle=\frac{E_{0}^{2}}{2\mu_{0} c}\,\hat z.
\displaystyle \vec S_{\text{out}}(t)=\frac{E_{F}^{2}}{\mu_{0} c}\,\frac{\sigma(\theta,\varphi)\cos^{2}(kr-\omega t)}{r^{2}}\,\hat r,\quad \langle\vec S_{\text{out}}\rangle=\frac{E_{F}^{2}}{2\mu_{0} c}\,\frac{\sigma(\theta,\varphi)}{r^{2}}\,\hat r.
(c) Pela conservação de potência:
\displaystyle E_{F}=\frac{E_{0}\,a}{2\sqrt{\langle\sigma\rangle}}.

Exercícios relacionados