Um feixe de luz cilíndrico, de diâmetro
, incide sobre um centro espalhador esférico, de mesmo diâmetro, situado na origem de eixos do sistema cuja base cartesiana tem os versores
e
. O feixe e é espalhado elasticamente pelo centro, produzindo ondas esféricas. Suponha que a energia do feixe cilídrico é completamente absorvida e re-irradiada pelo centro espalhador na forma de ondas esféricas. Usando as constantes
e
para indicar o vetor de onda e a frequência da luz, os campos incidente e irradiado podem ser expressos como
onde
e
são coordenadas esféricas, cuja base é formada pelos versores unitários
e
. Nos ítens abaixo, expresse a média de
sobre o ângulo sólido como
, quando necessário.
(a) Se
e
têm unidades de campo elétrico, quais as unidades da função
?
(b) Calcule o vetor de Poynting e sua média temporal para os feixes incidente e irradiado.
(c) Derive uma relação entre
e
que expresse a conservação da energia no espalhamento.
(a) Se
(b) Calcule o vetor de Poynting e sua média temporal para os feixes incidente e irradiado.
(c) Derive uma relação entre
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras. Vou listar tudo para a gente não se perder.
- Campo incidente:
- Campo irradiado (ondas esféricas):
- O feixe incidente é cilíndrico de diâmetro
(logo área de seção transversal ). - O centro espalhador está na origem e re-irradia toda a energia em ondas esféricas (conservação de potência).
- Os vetores de onda e frequência são
e . - A média angular de
pode ser escrita como .
O que o enunciado pede:
(a) Determinar as unidades da função sabendo que
e
têm unidades de campo elétrico.
(b) Calcular o vetor de Poynting e sua média temporal tanto para o feixe incidente quanto para o irradiado.
(c) Usando conservação de energia, obter uma relação entre e
(usar
quando conveniente).
(a) Determinar as unidades da função
(b) Calcular o vetor de Poynting
(c) Usando conservação de energia, obter uma relação entre
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
- O vetor de Poynting instantâneo é a densidade de fluxo de potência (potência por área) do campo eletromagnético:
onde
é a permeabilidade do vácuo. A unidade de
é
.
- Para ondas eletromagnéticas em vácuo (ou ar), os campos elétrico e magnético estão relacionados por
onde
é a velocidade da luz, e
é a direção de propagação da onda (por exemplo
para a plana incidente,
para a onda esférica).
- A média temporal de uma função oscilatória como
ao longo de um período é
Isso aparece sempre que tomamos média de potências proporcionais a
.
- Intensidade (média temporal do fluxo) para uma onda é
. Para uma onda plana com amplitude sabe-se (e podemos mostrar) que
Vou aplicar essas relações explicitamente aos dois campos.
Passo 3
Campo magnético do feixe incidente (detalhe da derivação).
O feixe incidente é uma onda plana que se propaga na direção
com campo elétrico
. Usando a relação entre
e
para uma onda que se propaga em
,
Calculemos o produto vetorial:
. Portanto
Comentário: as direções são perpendiculares (
formam um triângulo ortogonal) como esperado para uma onda plana.
Passo 4
Vetor de Poynting instantâneo e média temporal para o incidente.
Agora aplicamos
. Para o incidente,
O produto escalar das amplitude dá
e
. Portanto
Média temporal (usar
):
Interpretação: isso é a intensidade do feixe incidente (potência por unidade de área) e aponta no sentido da propagação
.
Passo 5
Campo magnético para a onda esférica irradiada (detalhe da derivação).
A onda irradiada propaga radialmente (direção
). Para ondas no regime de radiação, usamos a mesma relação local entre
e
:
Dado
, calculamos o produto vetorial:
. Logo
Comentário:
também formam um triângulo ortogonal adequado para ondas esféricas.
Passo 6
Vetor de Poynting instantâneo e média temporal para a irradiada.
Aplicando
ao campo irradiado:
As amplitudes multiplicam para dar
. O produto vetorial
. Assim
Fazendo a média temporal (
):
Interpretação: essa é a intensidade radial por unidade de área por unidade de ângulo; note o fator
típico de ondas esféricas.
Passo 7
Potência total incidente sobre o espalhador.
A potência que chega ao espalhador é a intensidade média do feixe incidente multiplicada pela área da seção transversal do feixe (círculo de raio
). Assim:
Explicação: intensidade é energia por unidade de tempo por unidade de área; multiplicando por área obtemos potência (energia por unidade de tempo) total que incide.
Passo 8
Potência total irradiada pelo centro (integração sobre esfera).
A potência total irradiada é dada pela integral do fluxo radial médio através de uma esfera de raio
:
Como
e
, o
cancela:
Usando a definição da média angular
, temos
portanto
Passo 9
Conservação de energia e relação entre
e
.
Pela hipótese do enunciado, toda potência incidente é re-irradiada:
. Substituindo as expressões obtidas:
Cancelamos o fator comum
e
, obtendo
Isolando
:
Comentário sobre o sinal: tomamos as amplitudes positivas; a relação de fase (sinais/cosenos) não é necessária para a conservação de potência, apenas as amplitudes quadráticas.
Passo 10
Unidades e consistência final (verificação rápida).
- De (a) sabemos que
deve ter unidades de comprimento ao quadrado para que seja adimensional e tenha unidades de campo elétrico. Portanto em SI tem unidades (área), e igualmente. - A relação final para
preserva homogeneidade de unidades: é adimensional, então tem as mesmas unidades de .
Resposta
(a)
tem unidades de área (SI:
).
(b)
(c) Pela conservação de potência:
(b)
(c) Pela conservação de potência: