Questão 3 (4 pontos). Considere D \subset \mathbb{R}^{2} a região limitada pelas 4 retas de equações: y=-x, y=-x+1, y=3 x e y=3 x-1. Considere a seguinte mudança de variáveis: u=3 x-y e v=x+y.
(1 ponto). Esboce as regiões D e Q, sendo Q a imagem da região D pela mudança

Passo 1

O enunciado dá a região D\subset\mathbb{R}^2 limitada pelas quatro retas
y=-x,\qquad y=-x+1,\qquad y=3x,\qquad y=3x-1,
e a mudança de variáveis
u=3x-y,\qquad v=x+y.
O que pede: esboçar (desenhar mentalmente/ficar sabendo a forma de) a região D no plano (x,y) e a região Q que é a imagem de D pelo mapa (x,y)\mapsto(u,v).
Informações relevantes dadas:
  • as quatro equações das retas que limitam D;
  • a transformação linear T:(x,y)\mapsto(u,v)=(3x-y,\;x+y).

Passo 2

Entender a transformação linear e como ela age sobre retas.
Escrevendo a transformação em forma matricial:
\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=3\cdot1-(-1)\cdot1=4\neq0,
ou seja, a transformação é invertível (não cola pontos distintos) e é uma transformação linear que combina rotação/alongamento/cisalhamento. A inversa é obtida resolvendo o sistema, dando
x=\frac{u+v}{4},\qquad y=\frac{3v-u}{4}.
Observação útil (para desenho: quanto a área é multiplicada): o fator de escala de área é |\det|=4 para (x,y)\mapsto(u,v), então a inversa tem fator 1/4.]

Passo 3

Como transformar cada reta: para cada equação de reta em x,y substitui-se nas fórmulas de u e v para ver a equação correspondente em u,v.
  • Para y=-x:
    u=3x-(-x)=4x,\qquad v=x+(-x)=0,
    portanto a reta y=-x é enviada para a reta v=0 no plano (u,v).
  • Para y=-x+1:
    u=3x-(-x+1)=4x-1,\qquad v=x+(-x+1)=1,
    portanto a reta y=-x+1 vai para v=1.
  • Para y=3x:
    u=3x-3x=0,\qquad v=x+3x=4x,
    portanto a reta y=3x vai para u=0.
  • Para y=3x-1:
    u=3x-(3x-1)=1,\qquad v=x+(3x-1)=4x-1,
    portanto a reta y=3x-1 vai para u=1.

Passo 4

Conclusão imediata sobre Q: as quatro retas em (u,v) são u=0,\;u=1,\;v=0,\;v=1. Logo a imagem Q é o quadrado unitário
Q=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le u\le1,\;0\le v\le1\}.
Isto é, a transformação linear leva a região paralelogramo D em um quadrado de lados alinhados aos eixos u e v.

Passo 5

Para desenhar D com precisão, obtenha os vértices de D como interseções das retas e verifique como eles correspondem aos vértices do quadrado Q.
Calcule as quatro interseções:
  1. Interseção de y=-x com y=3x: solução -x=3x\Rightarrow x=0,\;y=0. Ponto (0,0). Mapeia para
    u=3\cdot0-0=0,\qquad v=0+0=0 \quad\text{(o vértice }(0,0)\text{ de }Q).é
  2. Interseção de y=-x com y=3x-1: -x=3x-1\Rightarrow x=\tfrac{1}{4},\;y=-\tfrac{1}{4}. Ponto \big(\tfrac{1}{4},-\tfrac{1}{4}\big). Mapeia para
    u=3\cdot\tfrac{1}{4}-(-\tfrac{1}{4})=1,\qquad v=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}=0 \quad\text{(vértice }(1,0)\text{ de }Q).é
  3. Interseção de y=-x+1 com y=3x: -x+1=3x\Rightarrow x=\tfrac{1}{4},\;y=\tfrac{3}{4}. Ponto \big(\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\big). Mapeia para
    u=3\cdot\tfrac{1}{4}-\tfrac{3}{4}=0,\qquad v=\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}=1 \quad\text{(vértice }(0,1)\text{ de }Q).é
  4. Interseção de y=-x+1 com y=3x-1: -x+1=3x-1\Rightarrow x=\tfrac{1}{2},\;y=\tfrac{1}{2}. Ponto \big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\big). Mapeia para
    u=3\cdot\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=1,\qquad v=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1 \quad\text{(vértice }(1,1)\text{ de }Q).é
Portanto os vértices de D, em ordem ao redor, são
\big(0,0\big),\quad \big(\tfrac{1}{4},-\tfrac{1}{4}\big),\quad \big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\big),\quad \big(\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\big).
Ligando esses pontos com segmentos (as retas dadas) obtém-se um paralelogramo oblíquo cuja imagem é o quadrado unitário em (u,v).

Passo 6

Como esboçar na prática (dica para prova, passo a passo visual rápido):
  • Em (x,y): desenhe as retas de inclinação -1 (duas paralelas separadas por unidade vertical) e de inclinação 3 (duas paralelas separadas por unidade), marque as interseções calculadas e una-as: sai um paralelogramo com os vértices listados no passo anterior.
  • Em (u,v): desenhe o quadrado com cantos (0,0),(1,0),(0,1),(1,1). Marque que cada aresta do paralelogramo corresponde a uma aresta do quadrado (as arestas correspondentes têm equações u=0,1 ou v=0,1).

Resposta

D: paralelogramo com vértices \big(0,0\big),\\ \big(\tfrac{1}{4},-\tfrac{1}{4}\big),\\ \big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\big),\\ \big(\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\big).
Q: quadrado unitário \{(u,v)\mid 0\le u\le1,\;0\le v\le1\}.

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