Questão 3 (4 pontos). Considere
a região limitada pelas 4 retas de equações:
e
. Considere a seguinte mudança de variáveis:
e
.
(1 ponto). Esboce as regiões
e
, sendo
a imagem da região
pela mudança
(1 ponto). Esboce as regiões
Passo 1
O enunciado dá a região
limitada pelas quatro retas
e a mudança de variáveis
O que pede: esboçar (desenhar mentalmente/ficar sabendo a forma de) a região
no plano
e a região
que é a imagem de
pelo mapa
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- as quatro equações das retas que limitam
; - a transformação linear
.
Passo 2
Entender a transformação linear e como ela age sobre retas.
Escrevendo a transformação em forma matricial:
O determinante dessa matriz é
ou seja, a transformação é invertível (não cola pontos distintos) e é uma transformação linear que combina rotação/alongamento/cisalhamento. A inversa é obtida resolvendo o sistema, dando
Observação útil (para desenho: quanto a área é multiplicada): o fator de escala de área é
para
, então a inversa tem fator
.]
Passo 3
Como transformar cada reta: para cada equação de reta em
substitui-se nas fórmulas de
e
para ver a equação correspondente em
.
-
Para
: portanto a retaé enviada para a reta no plano . -
Para
: portanto a retavai para . -
Para
: portanto a retavai para . -
Para
: portanto a retavai para .
Passo 4
Conclusão imediata sobre
: as quatro retas em
são
. Logo a imagem
é o quadrado unitário
Isto é, a transformação linear leva a região paralelogramo
em um quadrado de lados alinhados aos eixos
e
.
Passo 5
Para desenhar
com precisão, obtenha os vértices de
como interseções das retas e verifique como eles correspondem aos vértices do quadrado
.
Calcule as quatro interseções:
-
Interseção de
com : solução . Ponto . Mapeia para -
Interseção de
com : . Ponto . Mapeia para -
Interseção de
com : . Ponto . Mapeia para -
Interseção de
com : . Ponto . Mapeia para
Portanto os vértices de
, em ordem ao redor, são
Ligando esses pontos com segmentos (as retas dadas) obtém-se um paralelogramo oblíquo cuja imagem é o quadrado unitário em
.
Passo 6
Como esboçar na prática (dica para prova, passo a passo visual rápido):
- Em
: desenhe as retas de inclinação (duas paralelas separadas por unidade vertical) e de inclinação (duas paralelas separadas por unidade), marque as interseções calculadas e una-as: sai um paralelogramo com os vértices listados no passo anterior. - Em
: desenhe o quadrado com cantos . Marque que cada aresta do paralelogramo corresponde a uma aresta do quadrado (as arestas correspondentes têm equações ou ).
Resposta
D: paralelogramo com vértices
.
Q: quadrado unitário .
Q: quadrado unitário