Calcule usando as propriedades de exponenciais e logaritmos:
\log _{3} 27-\log _{3} 9

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \log_{3}27-\log_{3}9 usando propriedades de exponenciais e logaritmos. As informações dadas são:
  • A expressão a ser avaliada é \log_{3}27-\log_{3}9.
  • Os números dentro dos logaritmos são 27 e 9.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é logaritmo: \log_{a}b=c significa que a^{c}=b. Ou seja, o logaritmo responde a pergunta “a que potência devo elevar a para obter b?”. Esta definição é a base para usar propriedades que transformam logaritmos em potências (e vice‑versa).

Passo 3

Agora observe que 27 e 9 podem ser escritos como potências de 3. Escrever números como potências da mesma base é uma técnica chave para simplificar logaritmos:
27=3^{3}, \qquad 9=3^{2}.

Passo 4

Use a propriedade \log_{a}(a^{k})=k. Aplicando isso a cada termo:
\log_{3}27=\log_{3}(3^{3})=3, \qquad \log_{3}9=\log_{3}(3^{2})=2.
Aqui cada igualdade vem diretamente da definição: \log_{3}(3^{3}) pergunta “qual expoente em 3^{\_} 3^{3}?” — resposta 3.

Passo 5

Substituindo os valores obtidos na expressão original, fica:
\log_{3}27-\log_{3}9 = 3-2.

Passo 6

Como verificação alternativa (mesma ideia, outra propriedade útil): a diferença de logaritmos com a mesma base é o logaritmo do quociente:
\log_{3}27-\log_{3}9=\log_{3}\!\left(\frac{27}{9}\right)=\log_{3}3.
Isso é consistente com os passos anteriores, pois \log_{3}3 corresponde a “qual expoente em 3^{\_} 3?” — a resposta é a mesma que será dada na seção de resposta.

Resposta

\,1\,

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