Questão 2: (2,5 pontos) Considere a função
a) Expresse
como uma série de Taylor centrada em
.
b) Calcule
, isto é, a derivada de oitava ordem de
calculada em 0 .
b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
(a) Expressar como uma série de Taylor centrada em
.
(b) Calcular , a derivada de oitava ordem de
em
.
(a) Expressar
(b) Calcular
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- •A função é dada por uma integral com integrando \frac{\cos(2t)-1}{t}.
- •O ponto de interesse é x=0 (centro da série de Taylor e ponto onde avaliamos a derivada).
Passo 2
Vamos obter a série de potências do integrando em torno de
. Lembra que a série de Maclaurin da função cosseno é
onde isso vale para todo
(raio de convergência infinito). Aplicando com
temos
Subtraindo
(o termo
) fica
Passo 3
Agora dividimos por
para obter a série do integrando:
Observação sobre a singularidade aparente em
: como
tem ordem
em zero, o quociente
tende a
quando
. Portanto a singularidade é removível e o integrando é integrável próximo de
. A série acima converge uniformemente em todo intervalo compacto em torno de
, então podemos integrar termo a termo.
Passo 4
Integramos termo a termo de
até
:
Calcule a integral simples:
Substituindo,
Passo 5
Simplificando a expressão (usando
) obtemos a série de Taylor centrada em
:
Essa é a série de Maclaurin de
. Note que só aparecem potências pares
, o termo constante (para
) é zero porque a integral de
a
é
.
Passo 6
Para relacionar com derivadas: se
então
. Na nossa série só há termos com
, com coeficiente
Passo 7
Queremos
. Aqui
corresponde a
. Assim
Logo
Passo 8
Calcule numericamente
:
Portanto
.
Resposta
(a)
(b)
(b)