Questão 2: (2,5 pontos) Considere a função
f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\cos (2 t)-1}{t} d t
a) Expresse f(x) como uma série de Taylor centrada em x=0.
b) Calcule f^{(8)}(0), isto é, a derivada de oitava ordem de f(x) calculada em 0 .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\cos(2t)-1}{t}\,dt
e pede duas coisas:
(a) Expressar f(x) como uma série de Taylor centrada em x=0.
(b) Calcular f^{(8)}(0), a derivada de oitava ordem de f em 0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é dada por uma integral com integrando \frac{\cos(2t)-1}{t}.
  • O ponto de interesse é x=0 (centro da série de Taylor e ponto onde avaliamos a derivada).
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Passo 2

Vamos obter a série de potências do integrando em torno de t=0. Lembra que a série de Maclaurin da função cosseno é
\cos z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!},
onde isso vale para todo z (raio de convergência infinito). Aplicando com z=2t temos
\cos(2t) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2t)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n} t^{2n}}{(2n)!}.
Subtraindo 1 (o termo n=0) fica
\cos(2t)-1 = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n} t^{2n}}{(2n)!}.

Passo 3

Agora dividimos por t para obter a série do integrando:
\frac{\cos(2t)-1}{t} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n} t^{2n-1}}{(2n)!}.
Observação sobre a singularidade aparente em t=0: como \cos(2t)-1 tem ordem t^2 em zero, o quociente (\cos(2t)-1)/t tende a 0 quando t\to0. Portanto a singularidade é removível e o integrando é integrável próximo de 0. A série acima converge uniformemente em todo intervalo compacto em torno de 0, então podemos integrar termo a termo.

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 até x:
f(x)=\int_{0}^{x}\frac{\cos(2t)-1}{t}\,dt = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n}}{(2n)!}\int_{0}^{x} t^{2n-1}\,dt.
Calcule a integral simples:
\int_{0}^{x} t^{2n-1}\,dt = \frac{x^{2n}}{2n}.
Substituindo,
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n}}{(2n)!}\cdot\frac{x^{2n}}{2n}.

Passo 5

Simplificando a expressão (usando 2^{2n}=4^n) obtemos a série de Taylor centrada em 0:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{4^{n}}{2n\,(2n)!}\;x^{2n}.
Essa é a série de Maclaurin de f. Note que só aparecem potências pares x^{2n}, o termo constante (para n=0) é zero porque a integral de 0 a 0 é 0.

Passo 6

Para relacionar com derivadas: se
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k,
então a_k=\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}. Na nossa série só há termos com k=2n, com coeficiente
a_{2n}=(-1)^n \frac{4^{n}}{2n\,(2n)!}.

Passo 7

Queremos f^{(8)}(0). Aqui 8=2n corresponde a n=4. Assim
a_8 = (-1)^4 \frac{4^{4}}{8\cdot 8!} = \frac{4^{4}}{8\cdot 8!}.
Logo
f^{(8)}(0) = 8!\,a_8 = 8!\cdot\frac{4^{4}}{8\cdot 8!} = \frac{4^{4}}{8}.

Passo 8

Calcule numericamente \dfrac{4^{4}}{8}:
4^{4}=256,\quad \frac{256}{8}=32.
Portanto f^{(8)}(0)=32.

Resposta

(a) \displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{4^{n}}{2n\,(2n)!}\;x^{2n}.
(b) \displaystyle f^{(8)}(0)=32.

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