Questão 1:(2,5 pontos)
A série
é convergente ou divergente? Justifique.
A série
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas que vamos usar:
- O termo geral da série é
. - A parte com sinal alternado é
e a parte positiva da magnitude é .
Passo 2
Vamos lembrar um teste básico e muito usado (vou explicar devagar porque isso aparece direto na prova):
Teorema (teste do termo geral / condição necessária): se
converge, então necessariamente
Isto é, um requisito imprescindível para uma série convergir é que os termos individuais tendam a zero. Se
(ou não existe), então a série diverge.
Intuição simples: se os termos não ficam cada vez menores e próximos de zero, somando infinitos termos eles não vão “estabilizar” num valor finito — vão continuar a produzir variações de ordem não nula.
Exemplo rápido para fixar a ideia: a série geométrica com razão
,
, tem
e
, portanto diverge.
Passo 3
Aplicamos o teste do termo geral ao nosso
. Primeiro olhamos a magnitude
. Para calcular o limite de
quando
é padrão dividir numerador e denominador por
(o maior grau em
):
Agora passamos ao limite:
Portanto
.
Passo 4
Se
, então em particular
não é
(os termos
oscilam entre valores próximos de
e
por causa de
). Pelo teste do termo geral, isso já garante que a série diverge.
Observação útil para a prova: alguém pode lembrar do teste de Leibniz (série alternada convergente quando
é decrescente e
). Aqui a série é alternada, mas falha exatamente no ponto essencial:
. Logo o teste de Leibniz não se aplica e a série não converge.
Passo 5
Se quiser um pequeno número para intuir: para
grande temos
, então os termos não tendem a zero, exemplificando a divergência.
Resposta
A série diverge.