Questão 1:(2,5 pontos)
A série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} k^{2}}{(2 k+1)(k+3)} é convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} k^{2}}{(2 k+1)(k+3)}
é convergente ou divergente. Informações dadas que vamos usar:
  • O termo geral da série é a_k=\dfrac{(-1)^{k} k^{2}}{(2 k+1)(k+3)}.
  • A parte com sinal alternado é (-1)^{k} e a parte positiva da magnitude é b_k=\dfrac{k^{2}}{(2 k+1)(k+3)}.

Passo 2

Vamos lembrar um teste básico e muito usado (vou explicar devagar porque isso aparece direto na prova):
Teorema (teste do termo geral / condição necessária): se \sum_{k=1}^{\infty} a_k converge, então necessariamente
\lim_{k\to\infty} a_k = 0.
Isto é, um requisito imprescindível para uma série convergir é que os termos individuais tendam a zero. Se \lim_{k\to\infty} a_k \neq 0 (ou não existe), então a série diverge.
Intuição simples: se os termos não ficam cada vez menores e próximos de zero, somando infinitos termos eles não vão “estabilizar” num valor finito — vão continuar a produzir variações de ordem não nula.
Exemplo rápido para fixar a ideia: a série geométrica com razão r=1, \sum 1, tem a_k=1 e \lim a_k=1\neq 0, portanto diverge.

Passo 3

Aplicamos o teste do termo geral ao nosso a_k. Primeiro olhamos a magnitude b_k=\dfrac{k^{2}}{(2 k+1)(k+3)}. Para calcular o limite de b_k quando k\to\infty é padrão dividir numerador e denominador por k^{2} (o maior grau em k):
b_k=\frac{k^{2}}{(2k+1)(k+3)} = \frac{1}{\left(2+\dfrac{1}{k}\right)\left(1+\dfrac{3}{k}\right)}.
Agora passamos ao limite:
\lim_{k\to\infty} b_k = \frac{1}{(2+0)(1+0)} = \frac{1}{2}.
Portanto \lim_{k\to\infty} |a_k| = \lim_{k\to\infty} b_k = \dfrac{1}{2}.

Passo 4

Se \lim_{k\to\infty} |a_k| = \dfrac{1}{2}, então em particular \lim_{k\to\infty} a_k não é 0 (os termos a_k oscilam entre valores próximos de +\tfrac{1}{2} e -\tfrac{1}{2} por causa de (-1)^k). Pelo teste do termo geral, isso já garante que a série diverge.
Observação útil para a prova: alguém pode lembrar do teste de Leibniz (série alternada convergente quando b_k é decrescente e \lim b_k=0). Aqui a série é alternada, mas falha exatamente no ponto essencial: \lim b_k\neq 0. Logo o teste de Leibniz não se aplica e a série não converge.

Passo 5

Se quiser um pequeno número para intuir: para k grande temos a_k\approx (-1)^k\cdot \tfrac{1}{2}, então os termos não tendem a zero, exemplificando a divergência.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados