Determine o limite, utilizando a técnica utilizada para extrair a variável as raízes. Obs: nas letras \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} e f do exercício 3, resolva como no exemplo a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x
Basta lembrar que a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que,
Informações dadas que vamos usar: a expressão é uma diferença entre duas quantidades que crescem com x, portanto se fizermos a substituição direta obtemos a forma indeterminada \infty-\infty. Precisamos manipular algebraicamente a expressão para eliminar essa indeterminação.
Passo 2
Ideia e identidade útil: para lidar com diferenças do tipo \sqrt{\cdot}-x usamos a conjugada e a identidade
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Escolhemos a=\sqrt{x^{2}+1} e b=x. Multiplicamos a expressão pela fração \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}+x} (isso não altera o valor) para usar a identidade acima:
Interpretação final e confere a intuição: a diferença entre \sqrt{x^{2}+1} e x é muito pequena quando x é grande; depois de racionalizar vimos que essa diferença é equivalente a algo da ordem de 1/x, que vai a zero quando x\to+\infty. Assim o limite é 0.