Determine o limite, utilizando a técnica utilizada para extrair a variável as raízes. Obs: nas letras \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{e} e f do exercício 3, resolva como no exemplo a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x
Basta lembrar que a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b). Analogamente e fazendo algumas manipulações obtemos que,
\begin{aligned} & \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x=\sqrt{9 x^{2}+x}-3 x \cdot\left(\frac{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}\right)=\frac{\left|9 x^{2}+x\right|-9 x^{2}}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}= \\\ & \frac{x}{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}=\frac{1}{\frac{\sqrt{9 x^{2}+x}+3 x}{x}}=\frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}}+3} & \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{9 x^{2}+x}-3 x=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{9+x^{-1}}+3}=\frac{1}{\sqrt{\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(9+x^{-1}\right)}+3}= & \frac{1}{\sqrt{9+0}+3}=\frac{1}{6} \end{aligned}
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x^{2}+1}-x

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+1}-x.
Informações dadas que vamos usar: a expressão é uma diferença entre duas quantidades que crescem com x, portanto se fizermos a substituição direta obtemos a forma indeterminada \infty-\infty. Precisamos manipular algebraicamente a expressão para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Ideia e identidade útil: para lidar com diferenças do tipo \sqrt{\cdot}-x usamos a conjugada e a identidade
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Escolhemos a=\sqrt{x^{2}+1} e b=x. Multiplicamos a expressão pela fração \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}+x} (isso não altera o valor) para usar a identidade acima:
\sqrt{x^{2}+1}-x=\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\frac{\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)^{2}-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.

Passo 3

Calcule o numerador usando a identidade:
\frac{\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)^{2}-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\frac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.
Então a expressão ficou muito mais simples:
\sqrt{x^{2}+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.

Passo 4

Para estudar o limite quando x\to+\infty é conveniente fatorar x na raiz. Como x\to+\infty temos x>0 para x suficientemente grande, logo |x|=x e
\sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Substituindo em \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} obtemos
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}=\frac{1}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+x}=\frac{1}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1\right)}.

Passo 5

Separe os fatores para aplicar limites:
\frac{1}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1\right)}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1}.
Agora use que \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0 e que \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0. A função \sqrt{\cdot} é contínua, então
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1\right)=\sqrt{1+0}+1=2.
Portanto o segundo fator tende a \dfrac{1}{2}, enquanto o primeiro fator tende a 0. Multiplicando os limites (produto) dá:
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1}=0\cdot\frac{1}{2}=0.

Passo 6

Interpretação final e confere a intuição: a diferença entre \sqrt{x^{2}+1} e x é muito pequena quando x é grande; depois de racionalizar vimos que essa diferença é equivalente a algo da ordem de 1/x, que vai a zero quando x\to+\infty. Assim o limite é 0.

Resposta

0

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