Questão 4 (2,5 pontos)

Considere um oscilador harmônico unidimensional com massa m e frequência w conhecidas, descrito pela equação:
H=p^22 m+m w^2 x^22
onde p e x são os operadores momento e posição, respectivamente.
A partir das equações de Heisenberg, mostre que:
l d pd t=-m w^2 x d xd t=pm
Sabendo que:
l H=hbar w(N+12) N=a^dag>=r(t) a(t)
mostre que H e N são independentes do tempo.
Mostre que:
l x(t)=x(0) cos (w t)+p(0)m w sen(w t) p(t)=-m w x(0) sen(w t)+p(0) cos (w t)

Passo 1

O enunciado trata do oscilador harmônico unidimensional com Hamiltoniano
H = p^22m + momega^2x^22,
e pede: (i) usar as equações de Heisenberg
dAdt = ihbar[H,A]
para mostrar que
dpdt=-momega^2x, dxdt=pm;
(ii) mostrar que H e N=a^dag>=r a não dependem do tempo;
(iii) resolver essas equações para obter
x(t)=x(0)cos(omega t)+p(0)momegasin(omega t), p(t)=-momega,x(0)sin(omega t)+p(0)cos(omega t)

Passo 2

Calculemos dot x=(i/hbar)[H,x]. Como [x^2,x]=0, sobra
[H,x] =12m[p^2,x] =12ml(p[p,x]+[p,x]pr) =12m(-2ihbar,p) =-ihbarpm
Portanto
dxdt =ihbarl(-ihbarpmr) =pm

Passo 3

De modo análogo, dot p=(i/hbar)[H,p]. Agora [p^2,p]=0 e
[H,p] =momega^22[x^2,p] =momega^22l(x[x,p]+[x,p]xr) =momega^22(2ihbar,x) =ihbar,momega^2x
Logo
dpdt =ihbar(ihbar,momega^2x) =-momega^2x

Passo 4

Para H em Heisenberg não há dependência explícita de t, então
dHdt =ihbar[H,H] =0,
isto é, H é constante de movimento. Como H=hbaromega(N+1/2), segue imediatamente [H,N]=0 e portanto
dNdt =ihbar[H,N] =0,
ou seja, N também é independente de t.

Passo 5

Das equações dot x=tfrac p m e dot p=-momega^2x obtemos
ddot x =ddtl(pmr) =1mdot p =-omega^2x,
que é a EDO do oscilador harmônico. A solução geral é
x(t)=Acos(omega t)+Bsin(omega t)
Impondo x(0)=A e dot x(0)=p(0)/m=Bomega obtemos
A=x(0), B=p(0)momega,
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x(t) =x(0)cos(omega t) +p(0)momegasin(omega t)
Então
p(t)=mdot x(t) =-momega,x(0)sin(omega t) +p(0)cos(omega t)

Resposta

dpdt=-momega^2x, dxdt=pm, dHdt=0, dNdt=0,
x(t)=x(0)cos(omega t)+p(0)momegasin(omega t), p(t)=-momega,x(0)sin(omega t)+p(0)cos(omega t)

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