Questão 4 (2,5 pontos)
Considere um oscilador harmônico unidimensional com massa
e frequência
conhecidas, descrito pela equação:
onde
e
são os operadores momento e posição, respectivamente.
A partir das equações de Heisenberg, mostre que:
Sabendo que:
mostre que
e
são independentes do tempo.
Mostre que:
A partir das equações de Heisenberg, mostre que:
Mostre que:
Passo 1
O enunciado trata do oscilador harmônico unidimensional com Hamiltoniano
e pede: (i) usar as equações de Heisenberg
para mostrar que
(ii) mostrar que
e
não dependem do tempo;
(iii) resolver essas equações para obter
(iii) resolver essas equações para obter
Passo 2
Calculemos
. Como
, sobra
Portanto
Passo 3
De modo análogo,
. Agora
e
Logo
Passo 4
Para
em Heisenberg não há dependência explícita de
, então
isto é,
é constante de movimento. Como
, segue imediatamente
e portanto
ou seja,
também é independente de
.
Passo 5
Das equações
e
obtemos
que é a EDO do oscilador harmônico. A solução geral é
Impondo
e
obtemos
logo
Então