Considerando um átomo de hidrogênio no estado caracterizado pelos números quânticos n=2, l=1 e m=0, calcule o valor do raio (centrado no núcleo do átomo) que corresponde à máxima densidade de probabilidade radial.
Dados: são funções de onda radiais para o átomo de hidrogênio
& R10(r)=2 a0-3 / 2 e^-r / a0 & R20(r)=1raiz2 a0 ^3(1-r2 a0) e^-r / 2 a0 & R21(r)=1raiz6 a0 ^3 r2 a0 e^-r / 2 a0

Passo 1

O enunciado pede o raio r em que a densidade de probabilidade radial é máxima para o estado (n=2,l=1,m=0) do átomo de hidrogênio. O conteúdo é probabilidade radial, que usa a função de onda radial R21(r) e a definição
P(r)=r^2l|R21(r)r|^2

Passo 2

Substituímos a expressão dada de
R21(r)=1raiz6,a0^3,r2,a0,e^-r/(2,a0)
em
P(r)=r^2l|R21(r)r|^2

Passo 3

Calculamos
P(r) = r^2,16,a0^3;gl(r2,a0gr)^2 ,e^-r/a0 = r^4,e^-r/a024,a0^5
Como constante de normalização não afeta o máximo, definimos
f(r)=r^4e^-r/a0

Passo 4

Para achar o extremo, derivamos f(r) e igualamos a zero:
f'(r) =ddrl(r^4e^-r/a0r) =e^-r/a0l(4r^3-tfracr^4a0r) =r^3e^-r/a0l(4-ra0r)=0

Passo 5

As soluções são r=0 e r=4,a0. O ponto r=0 não é máximo de probabilidade (é mínimo físico), então o máximo ocorre em
r=4,a0

Resposta

O raio de máxima densidade de probabilidade é 4,a0.

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