Questão 1 (2,5 pontos)

a) (1,7 pontos) Seja |psi(t)rang<= um estado que é solução da equação de Schroedinger. Em um dado instante t0 encontra-se que
lang<=psi(t0) mid psi(t0)rang<==integral|psi(x, t0)|^2 d^3 x=C0
em que C0 é certa constante. O que pode ser afirmado sobre lang<=psi(t) mid psi(t)rang<= em um instante t qualquer? Use a equação de Schroedinger para demonstrar, em detalhes, sua resposta.
b) (0,8 ponto) Qual a relevância física da resposta apresentada no item anterior? Em particular, considere as consequências da reposta anterior sobre a probabilidade de encontrar uma partícula em certa região do espaço.

Passo 1

O enunciado diz que em t0 temos
lang<=psi(t0)midpsi(t0)rang<= =integral|psi(vec x,t0)|^2d^3x=C0,
e pede para mostrar, usando a equação de Schr"odinger, o que acontece com
lang<=psi(t)midpsi(t)rang<= em tempo genérico t. O conteúdo é mostrar que a norma do estado é conservada pela evolução unitária gerada pelo Hamiltoniano Hermitiano.

Passo 2

Escrevemos a derivada temporal do produto interno
ddtlang<=psi(t)midpsi(t)rang<= =llang<=dotpsi(t)midpsi(t)rrang<= +llang<=psi(t)middotpsi(t)rrang<=
Aqui dotpsi(t)=partialpsi(t)/partial t.

Passo 3

Pela equação de Schr"odinger temos
já que é Hermitiano. Substituindo na derivada:

Passo 4

Como ddtlang<=psi(t)midpsi(t)rang<==0, a quantidade
lang<=psi(t)midpsi(t)rang<= é constante no tempo. Logo, para todo t,
lang<=psi(t)midpsi(t)rang<==C0

Passo 5

Fisicamente, |psi(vec x,t)|^2 é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em vec x. A conservação de
integral|psi(vec x,t)|^2d^3x significa que a probabilidade total de achar a partícula em algum ponto do espaço permanece igual a 1 (ou a constante de normalização C0) durante toda a evolução. Isso garante consistência da interpretação probabilística da mecânica quântica.

Resposta

a) lang<=psi(t)midpsi(t)rang<==C0 para todo t.
b) Essa conservação assegura que a probabilidade total de encontrar a partícula em alguma região do espaço seja constante no tempo, preservando a interpretação probabilística do estado quântico.

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